次の放物線を、$x$ 軸方向に $-2$、$y$ 軸方向に $3$ だけ平行移動した放物線の方程式を求めよ。 (1) $y = 2x^2$ (2) $y = -x^2 + 3$ (3) $y = 3x^2 - 2x - 1$

1. 問題の内容

次の放物線を、$x$ 軸方向に $-2$、$y$ 軸方向に $3$ だけ平行移動した放物線の方程式を求めよ。

(1) $y = 2x^2$

(2) $y = -x^2 + 3$

(3) $y = 3x^2 - 2x - 1$

2. 解き方の手順

放物線 $y = f(x)$ を $x$ 軸方向に $p$、$y$ 軸方向に $q$ だけ平行移動した放物線の方程式は、$y - q = f(x - p)$ で表される。つまり、$y = f(x - p) + q$ となる。

このことを利用して、各問題の放物線を平行移動した方程式を求める。

(1) $y = 2x^2$ を $x$ 軸方向に $-2$、$y$ 軸方向に $3$ だけ平行移動すると、

$y - 3 = 2(x - (-2))^2$

$y - 3 = 2(x + 2)^2$

$y = 2(x^2 + 4x + 4) + 3$

$y = 2x^2 + 8x + 8 + 3$

$y = 2x^2 + 8x + 11$

(2) $y = -x^2 + 3$ を $x$ 軸方向に $-2$、$y$ 軸方向に $3$ だけ平行移動すると、

$y - 3 = -(x - (-2))^2 + 3$

$y - 3 = -(x + 2)^2 + 3$

$y = -(x^2 + 4x + 4) + 3 + 3$

$y = -x^2 - 4x - 4 + 6$

$y = -x^2 - 4x + 2$

(3) $y = 3x^2 - 2x - 1$ を $x$ 軸方向に $-2$、$y$ 軸方向に $3$ だけ平行移動すると、

$y - 3 = 3(x - (-2))^2 - 2(x - (-2)) - 1$

$y - 3 = 3(x + 2)^2 - 2(x + 2) - 1$

$y = 3(x^2 + 4x + 4) - 2x - 4 - 1 + 3$

$y = 3x^2 + 12x + 12 - 2x - 2$

$y = 3x^2 + 10x + 10$

3. 最終的な答え

(1) $y = 2x^2 + 8x + 11$

(2) $y = -x^2 - 4x + 2$

(3) $y = 3x^2 + 10x + 10$