(2) $6x^3 - x^2 - 4x - 1$ を $3x+1$ で割った余りを求める。 (3) $x^3 + ax + 2$ を $x+1$ で割った余りが $3$ のとき、定数 $a$ の値を求める。

1. 問題の内容

(2) $6x^3 - x^2 - 4x - 1$ を $3x+1$ で割った余りを求める。

(3) $x^3 + ax + 2$ を $x+1$ で割った余りが $3$ のとき、定数 $a$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(2)

余りの定理を用いる。$3x + 1 = 0$ となる $x$ は $x = -\frac{1}{3}$ である。したがって、余りは

$6(-\frac{1}{3})^3 - (-\frac{1}{3})^2 - 4(-\frac{1}{3}) - 1$

$= 6(-\frac{1}{27}) - \frac{1}{9} + \frac{4}{3} - 1$

$= -\frac{6}{27} - \frac{1}{9} + \frac{12}{9} - \frac{9}{9}$

$= -\frac{2}{9} - \frac{1}{9} + \frac{12}{9} - \frac{9}{9}$

$= \frac{-2 - 1 + 12 - 9}{9}$

$= \frac{0}{9}$

$= 0$

(3)

余りの定理を用いる。$x + 1 = 0$ となる $x$ は $x = -1$ である。したがって、余りは

$(-1)^3 + a(-1) + 2 = 3$

$-1 - a + 2 = 3$

$1 - a = 3$

$-a = 2$

$a = -2$

3. 最終的な答え

(2) の答え：0

(3) の答え：$a = -2$