与えられた問題は、以下の5つの小問から構成されています。 (1) $A = x^2 + 2xy - 3y^2$、$B = 3x^2 - xy + 5y^2$のとき、$2A - B$を計算する。 (2) $5x^2 - 7x - 6$を因数分解する。 (3) $|3 - 2\sqrt{2}|$の値を求める。 (4) $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3} - 2}$の分母を有理化する。 (5) 1次不等式 $\frac{1}{2}x + 1 < \frac{2}{3}x - \frac{1}{2}$を解く。

1. 問題の内容

与えられた問題は、以下の5つの小問から構成されています。

(1) $A = x^2 + 2xy - 3y^2$、$B = 3x^2 - xy + 5y^2$のとき、$2A - B$を計算する。

(2) $5x^2 - 7x - 6$を因数分解する。

(3) $|3 - 2\sqrt{2}|$の値を求める。

(4) $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3} - 2}$の分母を有理化する。

(5) 1次不等式 $\frac{1}{2}x + 1 < \frac{2}{3}x - \frac{1}{2}$を解く。

2. 解き方の手順

(1) $2A - B$を計算します。

$2A = 2(x^2 + 2xy - 3y^2) = 2x^2 + 4xy - 6y^2$

$2A - B = (2x^2 + 4xy - 6y^2) - (3x^2 - xy + 5y^2) = 2x^2 + 4xy - 6y^2 - 3x^2 + xy - 5y^2 = -x^2 + 5xy - 11y^2$

(2) $5x^2 - 7x - 6$を因数分解します。

$5x^2 - 7x - 6 = (5x + 3)(x - 2)$

(3) $|3 - 2\sqrt{2}|$の値を求めます。

$2\sqrt{2} = \sqrt{8}$であり、$\sqrt{9} = 3$なので、$3 > 2\sqrt{2}$。

したがって、$|3 - 2\sqrt{2}| = 3 - 2\sqrt{2}$

(4) $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3} - 2}$の分母を有理化します。

$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3} - 2} = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3} - 2} \cdot \frac{\sqrt{3} + 2}{\sqrt{3} + 2} = \frac{\sqrt{5}(\sqrt{3} + 2)}{(\sqrt{3})^2 - 2^2} = \frac{\sqrt{15} + 2\sqrt{5}}{3 - 4} = \frac{\sqrt{15} + 2\sqrt{5}}{-1} = -\sqrt{15} - 2\sqrt{5}$

(5) 1次不等式 $\frac{1}{2}x + 1 < \frac{2}{3}x - \frac{1}{2}$を解きます。

$\frac{1}{2}x + 1 < \frac{2}{3}x - \frac{1}{2}$

両辺に6を掛けて：

$3x + 6 < 4x - 3$

$3x - 4x < -3 - 6$

$-x < -9$

$x > 9$

3. 最終的な答え

(1) $-x^2 + 5xy - 11y^2$

(2) $(5x + 3)(x - 2)$

(3) $3 - 2\sqrt{2}$

(4) $-\sqrt{15} - 2\sqrt{5}$

(5) $x > 9$