ベクトル $\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}$ を $\begin{bmatrix} 4 \\ 1 \end{bmatrix}$ に、ベクトル $\begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix}$ を $\begin{bmatrix} 5 \\ 1 \end{bmatrix}$ にそれぞれ変換するような一次変換を、行列の形で求めます。

1. 問題の内容

ベクトル $\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}$ を $\begin{bmatrix} 4 \\ 1 \end{bmatrix}$ に、ベクトル $\begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix}$ を $\begin{bmatrix} 5 \\ 1 \end{bmatrix}$ にそれぞれ変換するような一次変換を、行列の形で求めます。

2. 解き方の手順

一次変換を表す行列を $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ とします。

与えられた条件より、次の2つの式が成り立ちます。

$A \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \\ 1 \end{bmatrix}$

$A \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \\ 1 \end{bmatrix}$

これらの式を行列で表すと、次のようになります。

$\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \\ 1 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \\ 1 \end{bmatrix}$

これらの式から、連立方程式が得られます。

$a + 2b = 4$

$c + 2d = 1$

$2a + b = 5$

$2c + d = 1$

これらの連立方程式を解きます。

まず、最初の2つの式から $a$ と $c$ を求めます。

$a + 2b = 4$ より、$a = 4 - 2b$

$2a + b = 5$ に代入すると、$2(4 - 2b) + b = 5$

$8 - 4b + b = 5$

$-3b = -3$

$b = 1$

$a = 4 - 2(1) = 2$

次に、$c + 2d = 1$ より、$c = 1 - 2d$

$2c + d = 1$ に代入すると、$2(1 - 2d) + d = 1$

$2 - 4d + d = 1$

$-3d = -1$

$d = \frac{1}{3}$

$c = 1 - 2(\frac{1}{3}) = \frac{1}{3}$

したがって、$A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ \frac{1}{3} & \frac{1}{3} \end{bmatrix}$

3. 最終的な答え

$\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ \frac{1}{3} & \frac{1}{3} \end{bmatrix}$