$a$ は正の定数とする。関数 $y = x^2 - 4x + 1$ ($0 \le x \le a$) の最大値を求めよ。

1. 問題の内容

$a$ は正の定数とする。関数 $y = x^2 - 4x + 1$ ($0 \le x \le a$) の最大値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成します。

$y = x^2 - 4x + 1 = (x - 2)^2 - 4 + 1 = (x-2)^2 - 3$

この関数は、下に凸の放物線であり、頂点の座標は $(2, -3)$ です。軸は $x = 2$ です。

次に、定義域 $0 \le x \le a$ における最大値を考えます。

最大値は、軸から最も離れた $x$ の値で取ります。

場合分けをします。

(1) $0 < a < 2$ のとき：定義域の右端 $x=a$ で最大値を取ります。

最大値は、$y = a^2 - 4a + 1$

(2) $a = 2$ のとき：定義域の右端 $x=a=2$ および左端$x=0$で$x=0$で最大値を取ります。

$x=0$ のとき $y=0^2 - 4 \cdot 0 + 1 = 1$ なので、最大値は1です。

$a^2 - 4a + 1 = 4 - 8 + 1 = -3$ですが、$x=0$で$y=1$ をとるので、$a \ge 2$での議論に含めることにします。

(3) $a > 2$ のとき：定義域の左端 $x=0$ で最大値を取ります。

$x=0$ のとき $y=0^2 - 4 \cdot 0 + 1 = 1$ なので、最大値は1です。

まとめると、

(1) $0 < a < 2$ のとき、最大値は $a^2 - 4a + 1$

(2) $a \ge 2$ のとき、最大値は1

3. 最終的な答え

- $0 < a < 2$ のとき、最大値は $a^2 - 4a + 1$

- $a \ge 2$ のとき、最大値は $1$