$a$ は正の定数とする。関数 $y = x^2 - 4x + 1$ ($0 \le x \le a$) の最小値を求めよ。

1. 問題の内容

$a$ は正の定数とする。関数 $y = x^2 - 4x + 1$ ($0 \le x \le a$) の最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成します。

$y = x^2 - 4x + 1$

$y = (x - 2)^2 - 4 + 1$

$y = (x - 2)^2 - 3$

この2次関数は、頂点が $(2, -3)$ の下に凸な放物線です。定義域は $0 \le x \le a$ です。最小値は、軸 $x = 2$ が定義域に含まれるかどうかで場合分けして考えます。

(i) $0 < a < 2$ のとき：

定義域内で $x$ が増加するにつれて $y$ も増加するので、$x = 0$ で最小値をとります。

$y = 0^2 - 4(0) + 1 = 1$

(ii) $a \ge 2$ のとき：

軸 $x=2$ が定義域に含まれるので、頂点で最小値をとります。

$y = (2-2)^2 - 3 = -3$

したがって、最小値は以下のようになります。

* $0 < a < 2$ のとき、最小値は $1$

* $a \ge 2$ のとき、最小値は $-3$

3. 最終的な答え

$0 < a < 2$ のとき、最小値は $1$

$a \ge 2$ のとき、最小値は $-3$