問題は2つあります。 (1) ベクトル $\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}$ を $\begin{bmatrix} 4 \\ 1 \end{bmatrix}$ に、ベクトル $\begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix}$ を $\begin{bmatrix} 5 \\ 1 \end{bmatrix}$ に、それぞれ変換するような一次変換を、行列の形で求めよ。 (2) 一次変換 $\begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 2 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}$ について、 (a) ベクトル $\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}$ はどのベクトルに変換されるか。グラフ上に記入せよ。 (b) 変換前と変換後が同じであるベクトルを求め、グラフ上に記入せよ。

1. 問題の内容

問題は2つあります。

(1) ベクトル $\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}$ を $\begin{bmatrix} 4 \\ 1 \end{bmatrix}$ に、ベクトル $\begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix}$ を $\begin{bmatrix} 5 \\ 1 \end{bmatrix}$ に、それぞれ変換するような一次変換を、行列の形で求めよ。

(2) 一次変換 $\begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 2 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}$ について、

(a) ベクトル $\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}$ はどのベクトルに変換されるか。グラフ上に記入せよ。

(b) 変換前と変換後が同じであるベクトルを求め、グラフ上に記入せよ。

2. 解き方の手順

(1) 求める一次変換を表す行列を $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ とします。

問題文より、以下の2つの式が成り立ちます。

$A \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \\ 1 \end{bmatrix}$

$A \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \\ 1 \end{bmatrix}$

これらの式を行列の形で書くと、

$\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & 5 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$

したがって、

$\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & 5 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}^{-1}$

$\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}$ の逆行列は、

$\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}^{-1} = \frac{1}{1 \cdot 1 - 2 \cdot 2} \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ -2 & 1 \end{bmatrix} = -\frac{1}{3} \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ -2 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -\frac{1}{3} & \frac{2}{3} \\ \frac{2}{3} & -\frac{1}{3} \end{bmatrix}$

したがって、

$\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & 5 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -\frac{1}{3} & \frac{2}{3} \\ \frac{2}{3} & -\frac{1}{3} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -\frac{4}{3} + \frac{10}{3} & \frac{8}{3} - \frac{5}{3} \\ -\frac{1}{3} + \frac{2}{3} & \frac{2}{3} - \frac{1}{3} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ \frac{1}{3} & \frac{1}{3} \end{bmatrix}$

(2) (a) $\begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 2 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 \\ 2 \end{bmatrix}$

(b) 変換前と変換後が同じであるベクトルを $\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}$ とすると、

$\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 2 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}$

これは、

$x = 2y$

$y = x - y$

と同じです。どちらの式も $x = 2y$ を表しています。

したがって、求めるベクトルは $\begin{bmatrix} 2y \\ y \end{bmatrix} = y \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix}$ であり、$y$ は任意の実数です。

3. 最終的な答え

(1) $\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ \frac{1}{3} & \frac{1}{3} \end{bmatrix}$

(2) (a) $\begin{bmatrix} -2 \\ 2 \end{bmatrix}$

(b) $y \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix}$ ($y$ は任意の実数)