一次変換 $\begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 2 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}$ について、以下の問題を解きます。 (a) ベクトル $\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}$ がどのベクトルに変換されるかを求め、グラフに記入します。 (b) 変換前と変換後が同じであるベクトルを求め、グラフに記入します。

1. 問題の内容

一次変換 $\begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 2 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}$ について、以下の問題を解きます。

(a) ベクトル $\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}$ がどのベクトルに変換されるかを求め、グラフに記入します。

(b) 変換前と変換後が同じであるベクトルを求め、グラフに記入します。

2. 解き方の手順

(a) ベクトル $\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}$ が一次変換によってどのように変換されるかを計算します。

$\begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 2 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \cdot 1 + 2 \cdot (-1) \\ 1 \cdot 1 + (-1) \cdot (-1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 \\ 2 \end{bmatrix}$

したがって、ベクトル $\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}$ はベクトル $\begin{bmatrix} -2 \\ 2 \end{bmatrix}$ に変換されます。

(b) 変換前と変換後が同じであるベクトルを求めます。このようなベクトルを $\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}$ とすると、

$\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 2 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}$

が成り立ちます。これを成分ごとに書くと、

$x = 0 \cdot x + 2 \cdot y = 2y$

$y = 1 \cdot x + (-1) \cdot y = x - y$

最初の式から、$x = 2y$ が得られます。これを2番目の式に代入すると、

$y = 2y - y$

$y = y$

となり、これは常に成り立ちます。したがって、$x = 2y$ を満たす任意のベクトル $\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}$ が、変換前と変換後が同じであるベクトルです。例えば、$\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} -2 \\ -1 \end{bmatrix}$ などがあります。

3. 最終的な答え

(a) ベクトル $\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}$ はベクトル $\begin{bmatrix} -2 \\ 2 \end{bmatrix}$ に変換されます。

(b) 変換前と変換後が同じであるベクトルは、$x = 2y$ を満たす任意のベクトルであり、例えば$\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} -2 \\ -1 \end{bmatrix}$ などです。