与えられた4x4行列の行列式を計算します。行列は以下の通りです。 $ \begin{vmatrix} 2 & -4 & -5 & 3 \\ -6 & 13 & 14 & 1 \\ 1 & -2 & -2 & -8 \\ 2 & -5 & 0 & 5 \end{vmatrix} $

## 問題(4)の解答

1. 問題の内容

与えられた4x4行列の行列式を計算します。行列は以下の通りです。

$$

\begin{vmatrix}

2 & -4 & -5 & 3 \\

-6 & 13 & 14 & 1 \\

1 & -2 & -2 & -8 \\

2 & -5 & 0 & 5

\end{vmatrix}

$$

2. 解き方の手順

行列式を計算するために、行基本変形を用いて、できるだけ多くの成分を0にします。

まず、1行目を基準にして、他の行の1列目の成分を0にすることを試みます。

- 2行目を1行目の3倍を加えます。($R_2 \rightarrow R_2 + 3R_1$)

- 3行目を1行目の-1/2倍を加えます。($R_3 \rightarrow R_3 - \frac{1}{2}R_1$)

- 4行目を1行目の-1倍を加えます。($R_4 \rightarrow R_4 - R_1$)

新しい行列は以下のようになります。

$$

\begin{vmatrix}

2 & -4 & -5 & 3 \\

0 & 1 & -1 & 10 \\

0 & 0 & 1/2 & -17/2 \\

0 & -1 & 5 & 2

\end{vmatrix}

$$

次に、2行目を基準にして、4行目の2列目の成分を0にすることを試みます。

- 4行目に2行目を加えます。($R_4 \rightarrow R_4 + R_2$)

新しい行列は以下のようになります。

$$

\begin{vmatrix}

2 & -4 & -5 & 3 \\

0 & 1 & -1 & 10 \\

0 & 0 & 1/2 & -17/2 \\

0 & 0 & 4 & 12

\end{vmatrix}

$$

次に、3行目を基準にして、4行目の3列目の成分を0にすることを試みます。

- 4行目に3行目の-8倍を加えます。($R_4 \rightarrow R_4 - 8R_3$)

新しい行列は以下のようになります。

$$

\begin{vmatrix}

2 & -4 & -5 & 3 \\

0 & 1 & -1 & 10 \\

0 & 0 & 1/2 & -17/2 \\

0 & 0 & 0 & 80

\end{vmatrix}

$$

この行列は上三角行列なので、行列式は対角成分の積になります。

行列式 = $2 \times 1 \times \frac{1}{2} \times 80 = 80$

3. 最終的な答え

80

## 問題(5)の解答

1. 問題の内容

与えられた4x4行列の行列式を計算します。行列は以下の通りです。

$$

\begin{vmatrix}

0 & -3 & -6 & 15 \\

-2 & 5 & 14 & 4 \\

1 & -3 & -2 & 5 \\

15 & 10 & 10 & -5

\end{vmatrix}

$$

2. 解き方の手順

まず、1行目と3行目を入れ替えます。このとき、行列式の符号が反転します。

$$

\begin{vmatrix}

1 & -3 & -2 & 5 \\

-2 & 5 & 14 & 4 \\

0 & -3 & -6 & 15 \\

15 & 10 & 10 & -5

\end{vmatrix}

$$

次に、1行目を基準にして、2行目と4行目の1列目の成分を0にすることを試みます。

- 2行目に1行目の2倍を加えます。($R_2 \rightarrow R_2 + 2R_1$)

- 4行目に1行目の-15倍を加えます。($R_4 \rightarrow R_4 - 15R_1$)

$$

\begin{vmatrix}

1 & -3 & -2 & 5 \\

0 & -1 & 10 & 14 \\

0 & -3 & -6 & 15 \\

0 & 55 & 40 & -80

\end{vmatrix}

$$

次に、2行目を基準にして、3行目と4行目の2列目の成分を0にすることを試みます。

- 3行目に2行目の-3倍を加えます。($R_3 \rightarrow R_3 - 3R_2$)

- 4行目に2行目の55倍を加えます。($R_4 \rightarrow R_4 + 55R_2$)

$$

\begin{vmatrix}

1 & -3 & -2 & 5 \\

0 & -1 & 10 & 14 \\

0 & 0 & -36 & -27 \\

0 & 0 & 590 & 690

\end{vmatrix}

$$

次に、3行目を基準にして、4行目の3列目の成分を0にすることを試みます。

- 4行目に3行目の590/36倍を加えます。($R_4 \rightarrow R_4 + \frac{590}{36}R_3$)

$$

\begin{vmatrix}

1 & -3 & -2 & 5 \\

0 & -1 & 10 & 14 \\

0 & 0 & -36 & -27 \\

0 & 0 & 0 & 690-\frac{590*27}{36}

\end{vmatrix}

$$

$$

690-\frac{590*27}{36} = 690 - \frac{590*3}{4} = 690- \frac{1770}{4} = 690-442.5 = 247.5

$$

$$

\begin{vmatrix}

1 & -3 & -2 & 5 \\

0 & -1 & 10 & 14 \\

0 & 0 & -36 & -27 \\

0 & 0 & 0 & 247.5

\end{vmatrix}

$$

行列式 = $1 \times (-1) \times (-36) \times 247.5 = 36 * 247.5 = 8910$

1行目と3行目を入れ替えたので、符号を反転させます。よって、行列式は$-8910$です。

行列式の符号は反転しているので、答えは$-8910$になります。

3. 最終的な答え

-8910

## 問題(6)の解答

1. 問題の内容

与えられた3x3行列の行列式を計算します。行列は以下の通りです。

$$

\begin{vmatrix}

1/4 & 1/6 & 2/3 \\

1/12 & 1/6 & 1/4 \\

1/4 & 0 & 1/6

\end{vmatrix}

$$

2. 解き方の手順

3x3行列の行列式は次の式で計算できます。

$$

\begin{vmatrix}

a & b & c \\

d & e & f \\

g & h & i

\end{vmatrix} = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)

$$

したがって、与えられた行列の行列式は次のようになります。

$$

\frac{1}{4} (\frac{1}{6} \times \frac{1}{6} - \frac{1}{4} \times 0) - \frac{1}{6} (\frac{1}{12} \times \frac{1}{6} - \frac{1}{4} \times \frac{1}{4}) + \frac{2}{3} (\frac{1}{12} \times 0 - \frac{1}{6} \times \frac{1}{4})

$$

$$

= \frac{1}{4} (\frac{1}{36}) - \frac{1}{6} (\frac{1}{72} - \frac{1}{16}) + \frac{2}{3} (0 - \frac{1}{24})

$$

$$

= \frac{1}{144} - \frac{1}{6} (\frac{2-9}{144}) - \frac{2}{72}

$$

$$

= \frac{1}{144} - \frac{1}{6} (\frac{-7}{144}) - \frac{1}{36}

$$

$$

= \frac{1}{144} + \frac{7}{864} - \frac{1}{36}

$$

$$

= \frac{6}{864} + \frac{7}{864} - \frac{24}{864}

$$

$$

= \frac{6+7-24}{864}

$$

$$

= \frac{-11}{864}

$$

3. 最終的な答え

-11/864

## 問題(7)の解答

1. 問題の内容

与えられた3x3行列の行列式を計算します。行列は以下の通りです。

$$

\begin{vmatrix}

99 & 100 & 101 \\

100 & 99 & 100 \\

101 & 101 & 99

\end{vmatrix}

$$

2. 解き方の手順

まず、1行目を基準にして、2行目と3行目から1行目を引きます。($R_2 \rightarrow R_2 - R_1$, $R_3 \rightarrow R_3 - R_1$)

$$

\begin{vmatrix}

99 & 100 & 101 \\

1 & -1 & -1 \\

2 & 1 & -2

\end{vmatrix}

$$

次に、2行目を基準にして、3行目を変更します。($R_3 \rightarrow R_3 + R_2$)

$$

\begin{vmatrix}

99 & 100 & 101 \\

1 & -1 & -1 \\

3 & 0 & -3

\end{vmatrix}

$$

3x3行列の行列式は次の式で計算できます。

$$

\begin{vmatrix}

a & b & c \\

d & e & f \\

g & h & i

\end{vmatrix} = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)

$$

したがって、与えられた行列の行列式は次のようになります。

$$

99((-1) \times (-3) - (-1) \times 0) - 100(1 \times (-3) - (-1) \times 3) + 101(1 \times 0 - (-1) \times 3)

$$

$$

= 99(3) - 100(-3 + 3) + 101(3)

$$

$$

= 297 - 100(0) + 303

$$

$$

= 297 + 303

$$

$$

= 600

$$

3. 最終的な答え

600