次の方程式・不等式を解く問題です。 (1) $2^{2x-1} = 32$ (2) $(\frac{1}{3})^{x+1} < (\frac{1}{27})^x$ (3) $9^{x+1} + 80 \cdot 3^{x-1} - 1 = 0$ (4) $\log_3 x = 4$ (5) $\log_3 (2x-3) < 2$ (6) $\log_{\frac{1}{3}} (x-3) + \log_{\frac{1}{3}} (x+5) = -2$

1. 問題の内容

次の方程式・不等式を解く問題です。

(1) $2^{2x-1} = 32$

(2) $(\frac{1}{3})^{x+1} < (\frac{1}{27})^x$

(3) $9^{x+1} + 80 \cdot 3^{x-1} - 1 = 0$

(4) $\log_3 x = 4$

(5) $\log_3 (2x-3) < 2$

(6) $\log_{\frac{1}{3}} (x-3) + \log_{\frac{1}{3}} (x+5) = -2$

2. 解き方の手順

(1) $2^{2x-1} = 32$

$32 = 2^5$なので、$2^{2x-1} = 2^5$

よって、$2x-1 = 5$

$2x = 6$

$x = 3$

(2) $(\frac{1}{3})^{x+1} < (\frac{1}{27})^x$

$(\frac{1}{3})^{x+1} < (\frac{1}{3^3})^x$

$(\frac{1}{3})^{x+1} < (\frac{1}{3})^{3x}$

底が1より小さいので不等号の向きが変わる。

$x+1 > 3x$

$-2x > -1$

$2x < 1$

$x < \frac{1}{2}$

(3) $9^{x+1} + 80 \cdot 3^{x-1} - 1 = 0$

$(3^2)^{x+1} + 80 \cdot 3^{x-1} - 1 = 0$

$3^{2x+2} + 80 \cdot 3^{x-1} - 1 = 0$

$3^2 \cdot 3^{2x} + \frac{80}{3} \cdot 3^x - 1 = 0$

$9 \cdot (3^x)^2 + \frac{80}{3} \cdot 3^x - 1 = 0$

$t = 3^x$とおくと、$9t^2 + \frac{80}{3}t - 1 = 0$

両辺に3をかけて、$27t^2 + 80t - 3 = 0$

$(27t - 1)(t + 3) = 0$

$t = \frac{1}{27}, -3$

$t = 3^x$なので、$t > 0$より、$t = \frac{1}{27}$

$3^x = \frac{1}{27} = 3^{-3}$

$x = -3$

(4) $\log_3 x = 4$

$x = 3^4$

$x = 81$

(5) $\log_3 (2x-3) < 2$

真数条件より、$2x-3 > 0$なので、$x > \frac{3}{2}$

$\log_3 (2x-3) < \log_3 3^2$

$\log_3 (2x-3) < \log_3 9$

底が1より大きいので不等号の向きは変わらない。

$2x-3 < 9$

$2x < 12$

$x < 6$

$\frac{3}{2} < x < 6$

(6) $\log_{\frac{1}{3}} (x-3) + \log_{\frac{1}{3}} (x+5) = -2$

真数条件より、$x-3 > 0$かつ$x+5 > 0$なので、$x > 3$

$\log_{\frac{1}{3}} (x-3)(x+5) = -2$

$(x-3)(x+5) = (\frac{1}{3})^{-2}$

$(x-3)(x+5) = 3^2$

$x^2 + 2x - 15 = 9$

$x^2 + 2x - 24 = 0$

$(x+6)(x-4) = 0$

$x = -6, 4$

$x > 3$より、$x = 4$

3. 最終的な答え

(1) $x = 3$

(2) $x < \frac{1}{2}$

(3) $x = -3$

(4) $x = 81$

(5) $\frac{3}{2} < x < 6$

(6) $x = 4$