画像に写っている数学の問題のうち、以下の問題を解きます。 (6) $\log_{\frac{1}{3}}(x-3) + \log_{\frac{1}{3}}(x+5) = -2$

1. 問題の内容

画像に写っている数学の問題のうち、以下の問題を解きます。

(6) $\log_{\frac{1}{3}}(x-3) + \log_{\frac{1}{3}}(x+5) = -2$

2. 解き方の手順

まず、対数の性質を用いて式を整理します。対数の和は、真数の積の対数に等しいので、

$\log_{\frac{1}{3}}((x-3)(x+5)) = -2$

次に、対数の定義より、

$(x-3)(x+5) = (\frac{1}{3})^{-2}$

$(\frac{1}{3})^{-2} = 3^2 = 9$ なので、

$(x-3)(x+5) = 9$

展開して整理すると、

$x^2 + 2x - 15 = 9$

$x^2 + 2x - 24 = 0$

この二次方程式を解きます。因数分解すると、

$(x+6)(x-4) = 0$

よって、$x = -6$ または $x = 4$ が解の候補です。

ただし、対数の真数は正でなければならないので、

$x-3 > 0$ かつ $x+5 > 0$ を満たす必要があります。

つまり、$x > 3$ かつ $x > -5$ でなければなりません。

したがって、$x > 3$ が必要条件となります。

$x=-6$ は $x > 3$ を満たさないので不適。

$x=4$ は $x > 3$ を満たすので解として適切です。

3. 最終的な答え

$x = 4$