行列 $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ と2つのベクトル $v_1 = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}$, $v_2 = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix}$ が与えられている。 (1) 行列 $(v_1 \ v_2) = \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ と同様に、行列 $(Av_1 \ Av_2)$ を成分表示せよ。 (2) 行列 $(Av_1 \ Av_2)$ を、行列とベクトルの積で表しているものを選択肢の中から選び、表していないものがあれば、その理由を答えよ。

1. 問題の内容

行列 $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ と2つのベクトル $v_1 = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}$, $v_2 = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix}$ が与えられている。

(1) 行列 $(v_1 \ v_2) = \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ と同様に、行列 $(Av_1 \ Av_2)$ を成分表示せよ。

(2) 行列 $(Av_1 \ Av_2)$ を、行列とベクトルの積で表しているものを選択肢の中から選び、表していないものがあれば、その理由を答えよ。

2. 解き方の手順

(1) $Av_1$ と $Av_2$ を計算する。

$Av_1 = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3a+b \\ 3c+d \end{pmatrix}$

$Av_2 = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4a+2b \\ 4c+2d \end{pmatrix}$

したがって、 $(Av_1 \ Av_2) = \begin{pmatrix} 3a+b & 4a+2b \\ 3c+d & 4c+2d \end{pmatrix}$

(2) 選択肢を確認する。

(i) $A \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix}$ は定義されない。なぜなら、Aは2x2行列であり、$\begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix}$ は4x1ベクトルなので、行列積の次元が合わない。

(ii) $\begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix} A$ は定義されない。同様に、$\begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix}$ は4x1ベクトルであり、Aは2x2行列なので、行列積の次元が合わない。

(iii) $(v_1 \ v_2) A = \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3a+4c & 3b+4d \\ a+2c & b+2d \end{pmatrix}$

これは $(Av_1 \ Av_2)$ とは異なる。

(iv) $A (v_1 \ v_2) = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3a+b & 4a+2b \\ 3c+d & 4c+2d \end{pmatrix}$

これは $(Av_1 \ Av_2)$ と一致する。

したがって、(i), (ii), (iii) は $(Av_1 \ Av_2)$ を行列とベクトルの積で表していない。

3. 最終的な答え

(1) $(Av_1 \ Av_2) = \begin{pmatrix} 3a+b & 4a+2b \\ 3c+d & 4c+2d \end{pmatrix}$

(2) (i), (ii), (iii) は $(Av_1 \ Av_2)$ を行列とベクトルの積で表していない。理由は以下の通り。

* (i), (ii): 行列積の次元が合わない。

* (iii): $(v_1 \ v_2) A$ の計算結果が $(Av_1 \ Av_2)$ と異なる。