二次方程式 $z^2 + 2z + i = 0$ を解く問題です。

1. 問題の内容

二次方程式 $z^2 + 2z + i = 0$ を解く問題です。

2. 解き方の手順

解の公式を用いて解きます。二次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ の解は

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

で与えられます。

この問題では $a=1, b=2, c=i$ なので、解の公式に代入すると、

$z = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(1)(i)}}{2(1)}$

$z = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 4i}}{2}$

$z = \frac{-2 \pm 2\sqrt{1 - i}}{2}$

$z = -1 \pm \sqrt{1 - i}$

ここで、$\sqrt{1-i}$ を求めます。$\sqrt{1-i} = a + bi$ とおくと、

$(a+bi)^2 = 1-i$

$a^2 + 2abi - b^2 = 1 - i$

実部と虚部を比較して、

$a^2 - b^2 = 1$

$2ab = -1$

$b = -\frac{1}{2a}$ を $a^2 - b^2 = 1$ に代入すると、

$a^2 - \frac{1}{4a^2} = 1$

$4a^4 - 1 = 4a^2$

$4a^4 - 4a^2 - 1 = 0$

$a^2 = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 16}}{8} = \frac{4 \pm 4\sqrt{2}}{8} = \frac{1 \pm \sqrt{2}}{2}$

$a^2 > 0$ より、$a^2 = \frac{1 + \sqrt{2}}{2}$

$a = \pm \sqrt{\frac{1 + \sqrt{2}}{2}}$

$b = -\frac{1}{2a} = \mp \frac{1}{2\sqrt{\frac{1 + \sqrt{2}}{2}}} = \mp \frac{1}{ \sqrt{2 + 2\sqrt{2}} } = \mp \sqrt{\frac{ \sqrt{2}-1 }{2} }$

よって, $a= \sqrt{\frac{1 + \sqrt{2}}{2}}$, $b = - \sqrt{\frac{\sqrt{2} -1}{2}}$ または

$a= -\sqrt{\frac{1 + \sqrt{2}}{2}}$, $b = \sqrt{\frac{\sqrt{2} -1}{2}}$

$z = -1 \pm (\sqrt{\frac{1 + \sqrt{2}}{2}} - i\sqrt{\frac{\sqrt{2} - 1}{2}})$

$z = -1 + \sqrt{\frac{1 + \sqrt{2}}{2}} - i\sqrt{\frac{\sqrt{2} - 1}{2}}$ または

$z = -1 - \sqrt{\frac{1 + \sqrt{2}}{2}} + i\sqrt{\frac{\sqrt{2} - 1}{2}}$

3. 最終的な答え

$z = -1 + \sqrt{\frac{1 + \sqrt{2}}{2}} - i\sqrt{\frac{\sqrt{2} - 1}{2}}$, $z = -1 - \sqrt{\frac{1 + \sqrt{2}}{2}} + i\sqrt{\frac{\sqrt{2} - 1}{2}}$