数列 $\{a_n\}$ が $a_1 = 1$, $a_2 = 1$, $a_{n+2} = a_{n+1} + 3a_n$ (n = 1, 2, 3, ...) で定められている。 (1) 実数 $s$, $t$ ($s > t$) を、以下の連立方程式を満たすように定める。 $a_{n+2} - sa_{n+1} = t(a_{n+1} - sa_n)$ $a_{n+2} - ta_{n+1} = s(a_{n+1} - ta_n)$ (2) 一般項 $a_n$ を求める。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が $a_1 = 1$, $a_2 = 1$, $a_{n+2} = a_{n+1} + 3a_n$ (n = 1, 2, 3, ...) で定められている。

(1) 実数 $s$, $t$ ($s > t$) を、以下の連立方程式を満たすように定める。

$a_{n+2} - sa_{n+1} = t(a_{n+1} - sa_n)$

$a_{n+2} - ta_{n+1} = s(a_{n+1} - ta_n)$

(2) 一般項 $a_n$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) まず、$a_{n+2}$ に漸化式 $a_{n+2} = a_{n+1} + 3a_n$ を代入する。

$a_{n+1} + 3a_n - sa_{n+1} = t(a_{n+1} - sa_n)$

$a_{n+1} + 3a_n - ta_{n+1} = s(a_{n+1} - ta_n)$

これらを整理すると、

$(1-s)a_{n+1} + 3a_n = t a_{n+1} - st a_n$

$(1-t)a_{n+1} + 3a_n = s a_{n+1} - st a_n$

係数を比較して、

$1 - s = t$ かつ $3 = -st$

$1 - t = s$ かつ $3 = -st$

$1 - s = t$ を $3 = -st$ に代入すると、

$3 = -s(1 - s)$

$3 = -s + s^2$

$s^2 - s - 3 = 0$

これを解くと、

$s = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4(-3)}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{2}$

$s > t$ より、 $s = \frac{1 + \sqrt{13}}{2}$ , $t = \frac{1 - \sqrt{13}}{2}$

(2) (1)より、$a_{n+2} - s a_{n+1} = t(a_{n+1} - s a_n)$ , $a_{n+2} - t a_{n+1} = s(a_{n+1} - t a_n)$ が成り立つ。

$b_n = a_{n+1} - s a_n$ とおくと、$b_{n+1} = a_{n+2} - s a_{n+1} = t b_n$ となるので、$b_n$ は公比 $t$ の等比数列。

$b_1 = a_2 - s a_1 = 1 - s = t$

したがって、$b_n = b_1 t^{n-1} = t^n$

よって、$a_{n+1} - s a_n = t^n$

同様に、$c_n = a_{n+1} - t a_n$ とおくと、$c_{n+1} = a_{n+2} - t a_{n+1} = s c_n$ となるので、$c_n$ は公比 $s$ の等比数列。

$c_1 = a_2 - t a_1 = 1 - t = s$

したがって、$c_n = c_1 s^{n-1} = s^n$

よって、$a_{n+1} - t a_n = s^n$

$a_{n+1} - s a_n = t^n$

$a_{n+1} - t a_n = s^n$

の辺々を引くと

$(t-s)a_n = t^n - s^n$

$a_n = \frac{t^n - s^n}{t-s} = \frac{s^n - t^n}{s-t}$

$s-t = \sqrt{13}$ なので

$a_n = \frac{1}{\sqrt{13}} (\left( \frac{1+\sqrt{13}}{2} \right)^n - \left( \frac{1-\sqrt{13}}{2} \right)^n)$

3. 最終的な答え

(1) $s = \frac{1 + \sqrt{13}}{2}$, $t = \frac{1 - \sqrt{13}}{2}$

(2) $a_n = \frac{1}{\sqrt{13}} (\left( \frac{1+\sqrt{13}}{2} \right)^n - \left( \frac{1-\sqrt{13}}{2} \right)^n)$