$a$ を定数とする。3次方程式 $x^3 - 3ax^2 + 4 = 0$ の異なる実数解の個数を求めよ。

1. 問題の内容

$a$ を定数とする。3次方程式 $x^3 - 3ax^2 + 4 = 0$ の異なる実数解の個数を求めよ。

2. 解き方の手順

与えられた方程式を $x^3 - 3ax^2 + 4 = 0$ とする。この方程式を変形して、$3ax^2 = x^3 + 4$ とする。

$x = 0$ のとき、$0 = 4$ となり不適であるから、$x \ne 0$ である。

そこで、$a = \frac{x^3 + 4}{3x^2}$ と変形する。

$f(x) = \frac{x^3 + 4}{3x^2}$ とおくと、この関数と直線 $y = a$ の交点の個数が、方程式の異なる実数解の個数に等しい。

$f(x)$ の増減を調べるために、微分する。

$f'(x) = \frac{3x^2(3x^2) - (x^3 + 4)(6x)}{(3x^2)^2} = \frac{9x^4 - 6x^4 - 24x}{9x^4} = \frac{3x^4 - 24x}{9x^4} = \frac{3x(x^3 - 8)}{9x^4} = \frac{x^3 - 8}{3x^3}$

$f'(x) = 0$ となるのは、$x^3 = 8$ のときだから、$x = 2$

また、$x \to \pm 0$ のとき、$f(x) \to \infty$

さらに、$x \to \infty$ のとき、$f(x) \to \infty$、$x \to -\infty$ のとき、$f(x) \to -\infty$

$f(2) = \frac{2^3 + 4}{3 \cdot 2^2} = \frac{8 + 4}{12} = \frac{12}{12} = 1$

増減表は以下のようになる。

| x | ... | 0 | ... | 2 | ... |

| :---- | :---- | :---- | :---- | :--- | :---- |

| f'(x) | - | | - | 0 | + |

| f(x) | -$\infty$ | 発散 | $\infty$ | 1 | $\infty$ |

$y = a$ と $y = f(x)$ のグラフの交点の個数は、

$a < 1$ のとき 1個

$a = 1$ のとき 2個

$a > 1$ のとき 3個

3. 最終的な答え

$a < 1$ のとき 1個

$a = 1$ のとき 2個

$a > 1$ のとき 3個