与えられた式 $x^2 + xy - 2x - 3y - 3$ を因数分解してください。

1. 問題の内容

与えられた式 $x^2 + xy - 2x - 3y - 3$ を因数分解してください。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を $x$ について整理します。

$x^2 + (y-2)x - (3y+3)$

次に、定数項$-(3y+3)$ が $-(y+1) \times 3$ と分解できることに注目します。

そこで、式を以下のように変形することを試みます。

$(x+a)(x+b) = x^2 + (a+b)x + ab$

$a+b = y-2$

$ab = -(3y+3) = -3(y+1)$

ここで、$a = 3$、$b = -(y+1)$ とすると、

$a+b = 3 - (y+1) = 3 - y - 1 = 2-y$となり、

$ab = 3 \times (-(y+1)) = -3(y+1)$ となります。

$x^2 + xy - 2x - 3y - 3$ を $x$ について整理すると、

$x^2 + (y-2)x -3(y+1)$

となるので、因数分解した形を $(x+A)(x+B)$ と仮定します。

$(x+A)(x+B)=x^2 + (A+B)x + AB$

$A+B = y-2$

$AB = -3y-3 = -3(y+1)$

$A = 3$ とすると $B = y-2-3 = y-5$ となり、$AB= 3(y-5)=3y-15$

$B = -3$ とすると $A = y-2+3 = y+1$ となり、$AB= -3(y+1)$

よって、与えられた式は $x^2+(y-2)x-3(y+1)$ であるため、

$x^2 + (y+1)x - 3x -3y - 3$

$x^2 + xy - 2x - 3y - 3 = x(x+y) - 2x - 3(y+1)$

ここで、$x^2 + xy - 2x - 3y - 3 = (x-3)(x+y+1)$と仮定し、展開してみます。

$(x-3)(x+y+1) = x^2 + xy + x -3x -3y -3 = x^2 + xy -2x -3y -3$

したがって、

$x^2 + xy - 2x - 3y - 3 = (x-3)(x+y+1)$

3. 最終的な答え

$(x-3)(x+y+1)$