与えられた対数の値 $\log_{10} 2 = 0.3010$ と $\log_{10} 3 = 0.4771$ を用いて、以下の10個の問いに答えます。 (1) $2^{100}$ は何桁の整数か。 (2) $6^{30}$ は何桁の整数か。 (3) $(\frac{1}{3})^{30}$ を小数で表したとき、小数第何位に初めて0でない数字が現れるか。 (4) $(\frac{2}{3})^{30}$ を小数で表したとき、小数第何位に初めて0でない数字が現れるか。 (5) $15^{25}$ の最高位の数字をいえ。 (6) $0.15^{70}$ を小数で表したとき、小数第何位に初めて0でない数字をいえ。 (7) 不等式 $1.2^n < 100$ を満たす最大の整数 $n$ を求めよ。 (8) 不等式 $(\frac{1}{2})^n < (\frac{1}{10})^4$ を満たす最小の自然数 $n$ を求めよ。 (9) 不等式 $2^n < 3^{20} < 2^{n+1}$ を満たす整数 $n$ を求めよ。 (10) $3^n$ が8桁の数となるような自然数 $n$ をすべて求めよ。

1. 問題の内容

与えられた対数の値 $\log_{10} 2 = 0.3010$ と $\log_{10} 3 = 0.4771$ を用いて、以下の10個の問いに答えます。

(1) $2^{100}$ は何桁の整数か。

(2) $6^{30}$ は何桁の整数か。

(3) $(\frac{1}{3})^{30}$ を小数で表したとき、小数第何位に初めて0でない数字が現れるか。

(4) $(\frac{2}{3})^{30}$ を小数で表したとき、小数第何位に初めて0でない数字が現れるか。

(5) $15^{25}$ の最高位の数字をいえ。

(6) $0.15^{70}$ を小数で表したとき、小数第何位に初めて0でない数字をいえ。

(7) 不等式 $1.2^n < 100$ を満たす最大の整数 $n$ を求めよ。

(8) 不等式 $(\frac{1}{2})^n < (\frac{1}{10})^4$ を満たす最小の自然数 $n$ を求めよ。

(9) 不等式 $2^n < 3^{20} < 2^{n+1}$ を満たす整数 $n$ を求めよ。

(10) $3^n$ が8桁の数となるような自然数 $n$ をすべて求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $2^{100}$ の桁数を求める。

$\log_{10} 2^{100} = 100 \log_{10} 2 = 100 \times 0.3010 = 30.10$

$10^{30} < 2^{100} < 10^{31}$

したがって、$2^{100}$ は31桁の整数である。

(2) $6^{30}$ の桁数を求める。

$\log_{10} 6^{30} = 30 \log_{10} 6 = 30 \log_{10} (2 \times 3) = 30 (\log_{10} 2 + \log_{10} 3) = 30 (0.3010 + 0.4771) = 30 \times 0.7781 = 23.343$

$10^{23} < 6^{30} < 10^{24}$

したがって、$6^{30}$ は24桁の整数である。

(3) $(\frac{1}{3})^{30}$ を小数で表したとき、小数第何位に初めて0でない数字が現れるかを求める。

$\log_{10} (\frac{1}{3})^{30} = 30 \log_{10} (\frac{1}{3}) = -30 \log_{10} 3 = -30 \times 0.4771 = -14.313$

$-15 < -14.313 < -14$

$10^{-15} < (\frac{1}{3})^{30} < 10^{-14}$

したがって、小数第15位に初めて0でない数字が現れる。

(4) $(\frac{2}{3})^{30}$ を小数で表したとき、小数第何位に初めて0でない数字が現れるかを求める。

$\log_{10} (\frac{2}{3})^{30} = 30 \log_{10} (\frac{2}{3}) = 30 (\log_{10} 2 - \log_{10} 3) = 30 (0.3010 - 0.4771) = 30 \times (-0.1761) = -5.283$

$-6 < -5.283 < -5$

$10^{-6} < (\frac{2}{3})^{30} < 10^{-5}$

したがって、小数第6位に初めて0でない数字が現れる。

(5) $15^{25}$ の最高位の数字を求める。

$\log_{10} 15^{25} = 25 \log_{10} (3 \times 5) = 25 (\log_{10} 3 + \log_{10} \frac{10}{2}) = 25 (\log_{10} 3 + 1 - \log_{10} 2) = 25 (0.4771 + 1 - 0.3010) = 25 \times 1.1761 = 29.4025$

$15^{25} = 10^{29.4025} = 10^{29} \times 10^{0.4025}$

$\log_{10} 2 = 0.3010$

$\log_{10} 3 = 0.4771$

$10^{0.3010} = 2$

$10^{0.4771} = 3$

$0.3010 < 0.4025 < 0.4771$

$2 < 10^{0.4025} < 3$

$10^{0.4025} \approx 2.5$ (概算)

したがって、最高位の数字は2である。

(6) $0.15^{70}$ を小数で表したとき、小数第何位に初めて0でない数字が現れるかを求める。

$\log_{10} (0.15)^{70} = 70 \log_{10} (0.15) = 70 \log_{10} (\frac{15}{100}) = 70 (\log_{10} 15 - 2) = 70 (\log_{10} 3 + \log_{10} 5 - 2) = 70 (0.4771 + 1 - 0.3010 - 2) = 70 (0.4771 + 0.6990 - 2) = 70 (-0.8239) = -57.673$

$-58 < -57.673 < -57$

したがって、小数第58位に初めて0でない数字が現れる。

(7) 不等式 $1.2^n < 100$ を満たす最大の整数 $n$ を求める。

$n \log_{10} 1.2 < \log_{10} 100$

$n \log_{10} \frac{12}{10} < 2$

$n (\log_{10} 12 - 1) < 2$

$n (\log_{10} (2^2 \times 3) - 1) < 2$

$n (2 \log_{10} 2 + \log_{10} 3 - 1) < 2$

$n (2 \times 0.3010 + 0.4771 - 1) < 2$

$n (0.6020 + 0.4771 - 1) < 2$

$n (1.0791 - 1) < 2$

$n (0.0791) < 2$

$n < \frac{2}{0.0791} \approx 25.28$

したがって、最大の整数 $n$ は25である。

(8) 不等式 $(\frac{1}{2})^n < (\frac{1}{10})^4$ を満たす最小の自然数 $n$ を求めよ。

$2^{-n} < 10^{-4}$

$\log_{10} 2^{-n} < \log_{10} 10^{-4}$

$-n \log_{10} 2 < -4$

$n \log_{10} 2 > 4$

$n > \frac{4}{\log_{10} 2} = \frac{4}{0.3010} \approx 13.289$

したがって、最小の自然数 $n$ は14である。

(9) 不等式 $2^n < 3^{20} < 2^{n+1}$ を満たす整数 $n$ を求めよ。

$n < \log_2 3^{20} < n+1$

$n < 20 \log_2 3 < n+1$

$n < 20 \frac{\log_{10} 3}{\log_{10} 2} < n+1$

$n < 20 \times \frac{0.4771}{0.3010} < n+1$

$n < 20 \times 1.585 < n+1$

$n < 31.7 < n+1$

したがって、$n = 31$

(10) $3^n$ が8桁の数となるような自然数 $n$ をすべて求めよ。

$10^7 \le 3^n < 10^8$

$7 \le n \log_{10} 3 < 8$

$\frac{7}{\log_{10} 3} \le n < \frac{8}{\log_{10} 3}$

$\frac{7}{0.4771} \le n < \frac{8}{0.4771}$

$14.67 \le n < 16.76$

したがって、$n = 15, 16$

3. 最終的な答え

(1) 31桁

(2) 24桁

(3) 小数第15位

(4) 小数第6位

(5) 2

(6) 小数第58位

(7) 25

(8) 14

(9) 31

(10) 15, 16