半径 $r$ mの円形の土地の周囲に、幅 $a$ mの道がある。道の面積を $S$ 、道の真ん中を通る円の周の長さを $l$ とするとき、$S = al$ となることを証明する問題です。

1. 問題の内容

半径 $r$ mの円形の土地の周囲に、幅 $a$ mの道がある。道の面積を $S$ 、道の真ん中を通る円の周の長さを $l$ とするとき、$S = al$ となることを証明する問題です。

2. 解き方の手順

* まず、道の面積 $S$ を $a$ と $r$ を用いて表します。

道の面積は、外側の円の面積から内側の円の面積を引くことで求められます。

$S = \pi(r+a)^2 - \pi r^2$

$S = \pi(r^2 + 2ar + a^2) - \pi r^2$

$S = \pi r^2 + 2\pi a r + \pi a^2 - \pi r^2$

$S = 2\pi a r + \pi a^2$ (1)

* 次に、$al$ を $a$ と $r$ を用いて表します。

$l$ は道の真ん中を通る円の周の長さなので、その半径は $r + \frac{a}{2}$ となります。したがって、$l = 2\pi(r + \frac{a}{2})$ です。

$l = 2\pi(r + \frac{a}{2}) = 2\pi r + \pi a$

$al = a(2\pi r + \pi a) = 2\pi a r + \pi a^2$ (2)

* (1)と(2)より、$S = al$ であることが証明できます。

3. 最終的な答え

(1)と(2)より、$S = al$ が成り立つ。