次の式を計算します。 $(\frac{5^2}{2})^{-3} \times (\frac{2^2}{5})^2 \div (5^{-4})^2$

1. 問題の内容

次の式を計算します。

$(\frac{5^2}{2})^{-3} \times (\frac{2^2}{5})^2 \div (5^{-4})^2$

2. 解き方の手順

まず、各項を計算しやすくするために、指数法則を使って式を整理します。

$(\frac{5^2}{2})^{-3} = \frac{(5^2)^{-3}}{2^{-3}} = \frac{5^{-6}}{2^{-3}} = 5^{-6} \cdot 2^3$

$(\frac{2^2}{5})^2 = \frac{(2^2)^2}{5^2} = \frac{2^4}{5^2} = 2^4 \cdot 5^{-2}$

$(5^{-4})^2 = 5^{-8}$

したがって、与えられた式は次のようになります。

$5^{-6} \cdot 2^3 \times 2^4 \cdot 5^{-2} \div 5^{-8}$

除算を乗算に変換します。

$5^{-6} \cdot 2^3 \times 2^4 \cdot 5^{-2} \times 5^8$

指数の法則を用いて整理します。

$5^{-6} \times 5^{-2} \times 5^8 \times 2^3 \times 2^4 = 5^{-6-2+8} \times 2^{3+4} = 5^0 \times 2^7 = 1 \times 2^7 = 2^7$

$2^7$を計算します。

$2^7 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 128$

3. 最終的な答え

$2^7 = 128$