20個の飴を3兄弟で分けます。三男より次男が、次男より長男が多くもらいます。三男は可能な限り多くもらいます。この時、長男が少なくとも何個もらうかを求めます。

1. 問題の内容

20個の飴を3兄弟で分けます。三男より次男が、次男より長男が多くもらいます。三男は可能な限り多くもらいます。この時、長男が少なくとも何個もらうかを求めます。

2. 解き方の手順

3兄弟がもらう飴の数をそれぞれ $x, y, z$ とします。ここで、$x$は三男、$y$は次男、$z$は長男がもらう飴の数です。

問題文より、

$x < y < z$

$x + y + z = 20$

また、三男は可能な限り多くもらうので、$x$をできるだけ大きくします。

$x < y$より、$y \ge x + 1$

$y < z$より、$z \ge y + 1 \ge x + 2$

したがって、$x + y + z \ge x + (x+1) + (x+2) = 3x + 3$

$3x + 3 \le 20$

$3x \le 17$

$x \le \frac{17}{3} = 5.666...$

$x$は整数なので、$x \le 5$

三男が5個もらうとき、$x=5$とすると、

$5 + y + z = 20$

$y + z = 15$

$5 < y < z$なので、$y=7, z=8$などが考えられます。

三男が可能な限り多くもらう時、三男は5個、次男は6個の場合、$5+6+z = 20$ より $z = 9$

三男が可能な限り多くもらう時、次男は三男より1個多くもらえば良いので、最小ケースを考えると、$y = x+1$とします。

$x < y < z$なので、$x+1 < z$

$x + (x+1) + z = 20$

$z = 19 - 2x$

$x+1 < 19 - 2x$

$3x < 18$

$x < 6$

$x = 5$とすると、$y = 6$, $z = 19 - 2(5) = 19 - 10 = 9$

この時、$x < y < z$ は満たされているので、長男は少なくとも9個もらいます。

3. 最終的な答え

9