$12^{60}$ の桁数、最高位の数、および一の位の数を求める問題です。ただし、$log_{10}2 = 0.3010$ と $log_{10}3 = 0.4771$ を用います。

1. 問題の内容

$12^{60}$ の桁数、最高位の数、および一の位の数を求める問題です。ただし、$log_{10}2 = 0.3010$ と $log_{10}3 = 0.4771$ を用います。

2. 解き方の手順

(1) 桁数を求める

$log_{10}12^{60} = 60log_{10}12$ を計算します。

$log_{10}12 = log_{10}(2^2 \times 3) = log_{10}2^2 + log_{10}3 = 2log_{10}2 + log_{10}3$

$log_{10}12 = 2 \times 0.3010 + 0.4771 = 0.6020 + 0.4771 = 1.0791$

$log_{10}12^{60} = 60 \times 1.0791 = 64.746$

したがって、$12^{60}$ は $64+1 = 65$ 桁の整数です。

(2) 最高位の数を求める

$log_{10}12^{60} = 64.746$ より、$12^{60} = 10^{64.746} = 10^{64} \times 10^{0.746}$

$10^{0.746}$ の値を評価します。

$log_{10}5 = log_{10}(10/2) = log_{10}10 - log_{10}2 = 1 - 0.3010 = 0.6990$

$log_{10}6 = log_{10}(2 \times 3) = log_{10}2 + log_{10}3 = 0.3010 + 0.4771 = 0.7781$

$log_{10}5 < 0.746 < log_{10}6$

$5 < 10^{0.746} < 6$

よって、最高位の数は5です。

(3) 一の位の数を求める

$12^{60}$ の一の位の数を求めるには、$12^n$ の一の位の数の規則性を見つけます。

$12^1$ の一の位の数は 2

$12^2$ の一の位の数は 4

$12^3$ の一の位の数は 8

$12^4$ の一の位の数は 6

$12^5$ の一の位の数は 2

一の位の数は 2, 4, 8, 6 の繰り返しになります。

$60 \div 4 = 15$ で余り 0 です。

余り 0 のときは 6 となります。

3. 最終的な答え

桁数：65

最高位の数：5

一の位の数：6