正五角形を碁石で作り、 (1) 1辺に6個の碁石を並べた時に、全部で何個の碁石が必要か。 (2) 1辺に $n$ 個の碁石を並べた時に、全部で何個の碁石が必要かを $n$ を用いた式で表し、その式の求め方を説明する。ただし、$n$ は2以上の自然数とする。

1. 問題の内容

正五角形を碁石で作り、

(1) 1辺に6個の碁石を並べた時に、全部で何個の碁石が必要か。

(2) 1辺に $n$ 個の碁石を並べた時に、全部で何個の碁石が必要かを $n$ を用いた式で表し、その式の求め方を説明する。ただし、$n$ は2以上の自然数とする。

2. 解き方の手順

(1) 正五角形には5つの辺があります。1つの辺に6個の碁石を並べると、5つの辺で $6 \times 5 = 30$ 個となりますが、各頂点の碁石は2回数えられているため、頂点の数(5個)を引く必要があります。

したがって、必要な碁石の数は $6 \times 5 - 5 = 25$ 個となります。

(2) 1辺に $n$ 個の碁石を並べる時、同様に考えると、5つの辺で $n \times 5 = 5n$ 個となります。

各頂点の碁石は2回数えられているため、頂点の数(5個)を引く必要があります。

したがって、必要な碁石の数は $5n - 5$ 個となります。

これは、$5(n-1)$ と変形することもできます。

3. 最終的な答え

(1) 25個

(2) 式: $5n - 5$ (または $5(n-1)$)

説明: 1辺に $n$ 個の碁石を並べた正五角形の碁石の総数は、5つの辺の碁石の合計から、重複して数えた5つの頂点の碁石の数を引くことで求められます。