与えられた数の大小を比較し、不等号を用いて表す。具体的には、以下の4つの問題がある。 (1) $2^{\frac{3}{2}}$, $2^{-2}$, $2^{5}$, 1 (2) $0.7^{5}$, $0.7^{-\frac{1}{2}}$, 1, $0.7^{2}$ (3) $\sqrt[5]{8}$, $\sqrt[6]{16}$, $\sqrt[8]{64}$ (4) $(\frac{1}{3})^{-2}$, $\frac{1}{3}$, $(\frac{1}{27})^{\frac{1}{5}}$, $\sqrt[7]{\frac{1}{81}}$

1. 問題の内容

与えられた数の大小を比較し、不等号を用いて表す。具体的には、以下の4つの問題がある。

(1) $2^{\frac{3}{2}}$, $2^{-2}$, $2^{5}$, 1

(2) $0.7^{5}$, $0.7^{-\frac{1}{2}}$, 1, $0.7^{2}$

(3) $\sqrt[5]{8}$, $\sqrt[6]{16}$, $\sqrt[8]{64}$

(4) $(\frac{1}{3})^{-2}$, $\frac{1}{3}$, $(\frac{1}{27})^{\frac{1}{5}}$, $\sqrt[7]{\frac{1}{81}}$

2. 解き方の手順

(1)

$2^{\frac{3}{2}}$ は、$2^{1.5}$ に相当する。

$2^{-2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4} = 0.25$

$2^5 = 32$

$1 = 2^0$

したがって、$2^{-2} < 1 < 2^{\frac{3}{2}} < 2^5$

(2)

$0.7^{5}$ は、$0.7$ を5回掛け合わせたものなので、1より小さい。

$0.7^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{0.7}}$ であり、$0.7 < 1$ なので、$\sqrt{0.7} < 1$、したがって$\frac{1}{\sqrt{0.7}} > 1$ となる。

$0.7^2$ は、$0.7$ を2回掛け合わせたものなので、1より小さい。

$0 < 0.7 < 1$ なので、$0.7^5 < 0.7^2 < 1 < 0.7^{-\frac{1}{2}}$

(3)

$\sqrt[5]{8} = 8^{\frac{1}{5}} = (2^3)^{\frac{1}{5}} = 2^{\frac{3}{5}}$

$\sqrt[6]{16} = 16^{\frac{1}{6}} = (2^4)^{\frac{1}{6}} = 2^{\frac{4}{6}} = 2^{\frac{2}{3}}$

$\sqrt[8]{64} = 64^{\frac{1}{8}} = (2^6)^{\frac{1}{8}} = 2^{\frac{6}{8}} = 2^{\frac{3}{4}}$

指数部分を比較する。

$\frac{3}{5} = 0.6$

$\frac{2}{3} \approx 0.667$

$\frac{3}{4} = 0.75$

したがって、$2^{\frac{3}{5}} < 2^{\frac{2}{3}} < 2^{\frac{3}{4}}$

つまり、$\sqrt[5]{8} < \sqrt[6]{16} < \sqrt[8]{64}$

(4)

$(\frac{1}{3})^{-2} = 3^2 = 9$

$\frac{1}{3}$ はそのまま

$(\frac{1}{27})^{\frac{1}{5}} = (\frac{1}{3^3})^{\frac{1}{5}} = (\frac{1}{3})^{\frac{3}{5}} = 3^{-\frac{3}{5}}$

$\sqrt[7]{\frac{1}{81}} = (\frac{1}{81})^{\frac{1}{7}} = (\frac{1}{3^4})^{\frac{1}{7}} = (\frac{1}{3})^{\frac{4}{7}} = 3^{-\frac{4}{7}}$

指数部分を比較する。

$-\frac{3}{5} = -0.6$

$-\frac{4}{7} \approx -0.571$

したがって、$3^{-\frac{3}{5}} < 3^{-\frac{4}{7}} < \frac{1}{3} < 9$

つまり、$(\frac{1}{27})^{\frac{1}{5}} < \sqrt[7]{\frac{1}{81}} < \frac{1}{3} < (\frac{1}{3})^{-2}$

3. 最終的な答え

(1) $2^{-2} < 1 < 2^{\frac{3}{2}} < 2^5$

(2) $0.7^{5} < 0.7^{2} < 1 < 0.7^{-\frac{1}{2}}$

(3) $\sqrt[5]{8} < \sqrt[6]{16} < \sqrt[8]{64}$

(4) $(\frac{1}{27})^{\frac{1}{5}} < \sqrt[7]{\frac{1}{81}} < \frac{1}{3} < (\frac{1}{3})^{-2}$