与えられた4つの式を計算します。式はそれぞれ (1) $\sqrt[4]{3\sqrt{27}}$ (2) $\frac{\sqrt[3]{48}}{\sqrt[3]{3}}$ (3) $(\sqrt[6]{4})^3$ (4) $\sqrt[4]{\sqrt{7}}$ です。

1. 問題の内容

与えられた4つの式を計算します。式はそれぞれ

(1) $\sqrt[4]{3\sqrt{27}}$

(2) $\frac{\sqrt[3]{48}}{\sqrt[3]{3}}$

(3) $(\sqrt[6]{4})^3$

(4) $\sqrt[4]{\sqrt{7}}$

です。

2. 解き方の手順

(1) $\sqrt[4]{3\sqrt{27}}$

まず、$\sqrt{27}$ を計算します。$\sqrt{27}=\sqrt{3^3}=\sqrt{3^2 \cdot 3} = 3\sqrt{3}$です。

よって、$\sqrt[4]{3\sqrt{27}}=\sqrt[4]{3 \cdot 3\sqrt{3}}=\sqrt[4]{9\sqrt{3}}=\sqrt[4]{3^2 \cdot 3^{1/2}}=\sqrt[4]{3^{5/2}}=(3^{5/2})^{1/4}=3^{5/8}$

$3\sqrt{27} = 3 \cdot 27^{1/2} = 3 \cdot (3^3)^{1/2} = 3 \cdot 3^{3/2} = 3^{1+3/2} = 3^{5/2}$

$\sqrt[4]{3\sqrt{27}} = (3^{5/2})^{1/4} = 3^{5/8}$

(2) $\frac{\sqrt[3]{48}}{\sqrt[3]{3}}$

$\frac{\sqrt[3]{48}}{\sqrt[3]{3}} = \sqrt[3]{\frac{48}{3}}=\sqrt[3]{16}=\sqrt[3]{2^4}=\sqrt[3]{2^3 \cdot 2}=2\sqrt[3]{2}$

(3) $(\sqrt[6]{4})^3$

$(\sqrt[6]{4})^3=(4^{1/6})^3=4^{3/6}=4^{1/2}=\sqrt{4}=2$

(4) $\sqrt[4]{\sqrt{7}}$

$\sqrt[4]{\sqrt{7}} = (7^{1/2})^{1/4} = 7^{1/8}=\sqrt[8]{7}$

3. 最終的な答え

(1) $3^{5/8}$

(2) $2\sqrt[3]{2}$

(3) $2$

(4) $\sqrt[8]{7}$