次の値を求める問題です。 $\sum_{k=1}^{10} k$, $\sum_{k=1}^{10} k^2$, $\sum_{k=1}^{5} k^3$, $\sum_{k=0}^{5} (-\frac{1}{2})^k$

1. 問題の内容

次の値を求める問題です。

$\sum_{k=1}^{10} k$, $\sum_{k=1}^{10} k^2$, $\sum_{k=1}^{5} k^3$, $\sum_{k=0}^{5} (-\frac{1}{2})^k$

2. 解き方の手順

まず、$\sum_{k=1}^{10} k$を計算します。これは初項1、末項10、項数10の等差数列の和なので、

$\sum_{k=1}^{10} k = \frac{1}{2} \times 10 \times (1 + 10) = \frac{1}{2} \times 10 \times 11 = 55$

次に、$\sum_{k=1}^{10} k^2$を計算します。これは平方数の和の公式を使います。

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$n = 10$を代入すると、

$\sum_{k=1}^{10} k^2 = \frac{10 \times (10+1) \times (2 \times 10 + 1)}{6} = \frac{10 \times 11 \times 21}{6} = \frac{10 \times 11 \times 7}{2} = 5 \times 11 \times 7 = 385$

次に、$\sum_{k=1}^{5} k^3$を計算します。これは立方数の和の公式を使います。

$\sum_{k=1}^{n} k^3 = (\frac{n(n+1)}{2})^2$

$n = 5$を代入すると、

$\sum_{k=1}^{5} k^3 = (\frac{5 \times (5+1)}{2})^2 = (\frac{5 \times 6}{2})^2 = (5 \times 3)^2 = 15^2 = 225$

最後に、$\sum_{k=0}^{5} (-\frac{1}{2})^k$を計算します。これは初項1、公比$-\frac{1}{2}$、項数6の等比数列の和なので、

$\sum_{k=0}^{5} (-\frac{1}{2})^k = \frac{1 - (-\frac{1}{2})^6}{1 - (-\frac{1}{2})} = \frac{1 - \frac{1}{64}}{\frac{3}{2}} = \frac{\frac{63}{64}}{\frac{3}{2}} = \frac{63}{64} \times \frac{2}{3} = \frac{21}{32}$

3. 最終的な答え

$\sum_{k=1}^{10} k = 55$

$\sum_{k=1}^{10} k^2 = 385$

$\sum_{k=1}^{5} k^3 = 225$

$\sum_{k=0}^{5} (-\frac{1}{2})^k = \frac{21}{32}$