美術部、書道部、合唱部の部員がそれぞれ3人ずつ、合計9人いる。この9人を2人、3人、4人の3つのグループに分ける。 (1) 美術部の部員だけで3人のグループを作る。残りの6人の生徒から2人を選ぶ選び方は何通りか。 (2) グループの分け方は全部で何通りか。また、各グループに美術部の部員が1人ずつ入るような分け方は何通りか。 (3) 2人のグループに1つの部の部員だけが入るような分け方は何通りか。また、どのグループにも2つ以上の部の部員が入るような分け方は何通りか。

1. 問題の内容

美術部、書道部、合唱部の部員がそれぞれ3人ずつ、合計9人いる。この9人を2人、3人、4人の3つのグループに分ける。

(1) 美術部の部員だけで3人のグループを作る。残りの6人の生徒から2人を選ぶ選び方は何通りか。

(2) グループの分け方は全部で何通りか。また、各グループに美術部の部員が1人ずつ入るような分け方は何通りか。

(3) 2人のグループに1つの部の部員だけが入るような分け方は何通りか。また、どのグループにも2つ以上の部の部員が入るような分け方は何通りか。

2. 解き方の手順

(1) 美術部の3人だけで3人のグループを作る方法は1通り。残りの6人から2人を選ぶ方法は、組み合わせの数で計算できる。

$_{6}C_{2} = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$通り

(2) 9人を2人、3人、4人のグループに分ける方法の総数は、

$\frac{9!}{2!3!4!} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5}{2 \times 6} = 9 \times 4 \times 7 \times 5 = 1260$通り

各グループに美術部の部員が1人ずつ入る場合、まず美術部の3人をそれぞれ2人、3人、4人のグループに割り当てる。これは3! = 6通り。

次に、残りの6人をそれぞれのグループの残りの人数に割り当てる。2人のグループには残りの1人、3人のグループには残りの2人、4人のグループには残りの3人を割り当てる。これは、

$\frac{6!}{1!2!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{2} = 60$通り

したがって、各グループに美術部の部員が1人ずつ入る分け方は、

$3! \times \frac{6!}{1!2!3!} = 6 \times 60 = 360$通り

(3) 2人のグループに1つの部の部員だけが入る場合を考える。

まず、2人のグループの所属部を決める。3つの部から1つを選ぶので3通り。

その部から2人を選ぶ方法は$_{3}C_{2}=3$通り。

残りの7人を3人、4人のグループに分ける方法は $\frac{7!}{3!4!} = \frac{7\times 6\times 5}{3\times 2\times 1} = 35$通り。

したがって、

$3 \times 3 \times 35 = 315$通り。

どのグループにも2つ以上の部の部員が入る場合を考える。

全体の場合の数1260通りから、

(i) 2人のグループに1つの部のみが入る場合：315通り

(ii) 3人のグループに1つの部のみが入る場合：$3 \times _{3}C_{3} \times \frac{6!}{2!4!} = 3 \times 1 \times 15 = 45$

(iii) 4人のグループに1つの部のみが入る場合：$3 \times _{3}C_{4} = 0$

(i), (ii), (iii) のいずれかしか起こらないため、どのグループにも2つ以上の部の部員が入る場合の数は、

$1260 - 315 - 45 = 900$通り

3. 最終的な答え

(1) 15通り

(2) 1260通り、360通り

(3) 315通り、900通り