袋の中に2と書かれた球が3個、0と書かれた球が2個、-1と書かれた球が1個入っている。この袋から球を1個取り出し、取り出された球に書かれた数字を記録した後、球を袋に戻す。この操作を4回繰り返し、記録された数字を順にa, b, c, dとする。 (1) $a+b+c=0$である確率を求めよ。 (2) $a+b+c+d=0$である確率を求めよ。 (3) $a+b+c+d=0$であるとき、$a=0$である条件付き確率を求めよ。 (4) 4つの条件$a \ne 0$, $a+b \ne 0$, $a+b+c \ne 0$, $a+b+c+d=0$が同時に成り立つ確率を求めよ。

1. 問題の内容

袋の中に2と書かれた球が3個、0と書かれた球が2個、-1と書かれた球が1個入っている。この袋から球を1個取り出し、取り出された球に書かれた数字を記録した後、球を袋に戻す。この操作を4回繰り返し、記録された数字を順にa, b, c, dとする。

(1) $a+b+c=0$である確率を求めよ。

(2) $a+b+c+d=0$である確率を求めよ。

(3) $a+b+c+d=0$であるとき、$a=0$である条件付き確率を求めよ。

(4) 4つの条件$a \ne 0$, $a+b \ne 0$, $a+b+c \ne 0$, $a+b+c+d=0$が同時に成り立つ確率を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $a+b+c=0$となる場合を考える。

起こりうる球の取り出し方は全部で$6^3=216$通り。

$a, b, c$の組み合わせを考える。

- $(2, -1, -1)$とその並び替え: $3!/2! = 3$通り。確率は$3 \times \frac{3}{6} \times \frac{1}{6} \times \frac{1}{6} = \frac{9}{216}$

- $(-1, 2, -1)$とその並び替え

- $(-1, -1, 2)$とその並び替え

- $(2, 2, -4)$ (これはありえない)

- $(0, 0, 0)$: $1$通り。確率は$(\frac{2}{6})^3 = \frac{8}{216}$

- $(2, -1, -1)$ の並び替えは 3通りで、確率は $3 \times \frac{3}{6} \times \frac{1}{6} \times \frac{1}{6} = \frac{9}{216}$

- $(-1, 0, 1)$のような組み合わせはないので

- $(2, -1, -1)$の並び替え: $3 \times (3/6) \times (1/6) \times (1/6) = 9/216$

- $(-1, 2, -1)$ の並び替え:

- $(0, 0, 0)$: $2/6 \times 2/6 \times 2/6 = 8/216$

- $(2, -1, -1)$と並び替え: $3 \times (3/6) \times (1/6) \times (1/6) = 9/216$

- $(-1, 2, -1)$

$a+b+c=0$になる組み合わせ

$(2, -1, -1)$の順列: $\frac{3!}{2!} = 3$通り。確率は$3 \times \frac{3}{6} \times \frac{1}{6} \times \frac{1}{6} = \frac{9}{216}$

$(0, 0, 0)$: $\frac{2}{6} \times \frac{2}{6} \times \frac{2}{6} = \frac{8}{216}$

$(2, -1, -1)$ : 3通り. $\frac{3}{6} \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{3}{216}$

(2,-1,-1), (0,0,0)

$\frac{9}{216} + \frac{8}{216} = \frac{17}{216}$

(2) $a+b+c+d=0$となる場合を考える。

- 全部で$6^4=1296$通り。

- $2, 0, -1$が出る確率はそれぞれ$3/6, 2/6, 1/6 = 1/2, 1/3, 1/6$

- (2, 2, -1, -3).

- 全てが0の時$(\frac{2}{6})^4= \frac{16}{1296}$

- $(2, -1, -1, 0)$順列は$\frac{4!}{2!} = 12通り。確率は$ $12\times \frac{3}{6} \times \frac{1}{6} \times \frac{1}{6} \times \frac{2}{6} = \frac{72}{1296}$.

- $(2, 2, -2, -2)$

- $\frac{16 +72}{1296} = \frac{88}{1296} = \frac{11}{162}$

(3) $a+b+c+d=0$であるとき、$a=0$である条件付き確率を求める。

$P(a=0 | a+b+c+d=0) = \frac{P(a=0 \cap a+b+c+d=0)}{P(a+b+c+d=0)}$

$P(a=0 \cap a+b+c+d=0) = P(a=0 \cap b+c+d=0)$

$b+c+d=0$となる確率

- $(0, 0, 0)$の場合 $2/6 * 2/6 * 2/6= 8/216 * 2/6 = (16)/1296$

-$(2, -1, -1), \frac{3!}{2!}=3.$

- $p(b,c,d) = 3 * (\frac{3}{6} * \frac{1}{6}*\frac{1}{6}) = 9/216 * 2/6= 18/1296$.

(4)

3. 最終的な答え

19: ウ. 17/216

20: イ. 11/162

21: イ. 13/40

22: イ. 1/72