正の整数$A$、$B$を6で割ったときの余りがそれぞれ1と5であるとき、以下の問いに答える。 (1) $A+3B$を6で割ったときの余りを求めよ。 (2) $AB$を6で割ったときの余りを求めよ。

1. 問題の内容

正の整数$A$、$B$を6で割ったときの余りがそれぞれ1と5であるとき、以下の問いに答える。

(1) $A+3B$を6で割ったときの余りを求めよ。

(2) $AB$を6で割ったときの余りを求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $A$と$B$を6で割った余りがそれぞれ1と5なので、整数$k, l$を用いて

$A = 6k + 1$

$B = 6l + 5$

と表せる。よって、

$A+3B = (6k + 1) + 3(6l + 5) = 6k + 1 + 18l + 15 = 6k + 18l + 16 = 6k + 6(3l) + 6(2) + 4 = 6(k + 3l + 2) + 4$

したがって、$A+3B$を6で割った余りは4である。

(2) $A$と$B$を6で割った余りがそれぞれ1と5なので、整数$k, l$を用いて

$A = 6k + 1$

$B = 6l + 5$

と表せる。よって、

$AB = (6k + 1)(6l + 5) = 36kl + 30k + 6l + 5 = 6(6kl + 5k + l) + 5$

したがって、$AB$を6で割った余りは5である。

3. 最終的な答え

(1) 4

(2) 5