7枚のカード（1, 2, 3, 4, 5, 6, 7）から3枚を選んで一列に並べ、3桁の整数を作ります。このとき、9の倍数は何通りできるか、また、それらの9の倍数の総和を求めよ。

1. 問題の内容

7枚のカード（1, 2, 3, 4, 5, 6, 7）から3枚を選んで一列に並べ、3桁の整数を作ります。このとき、9の倍数は何通りできるか、また、それらの9の倍数の総和を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、3桁の整数が9の倍数になるためには、各位の数字の和が9の倍数になる必要があります。

1から7までの数字から3つ選んで和が9の倍数になる組み合わせを考えます。

各位の数の組み合わせの和が9になる組み合わせは以下の通りです。

(1, 2, 6)

(1, 3, 5)

(2, 3, 4)

(4, 5, 0)　（0はないのでだめ）

(5, 6, 7)だと18なのでOK

(2,7,0)　（0はないのでだめ）

(3,6,0)　（0はないのでだめ）

(4,5,0)　（0はないのでだめ）

各位の数の組み合わせの和が18になる組み合わせは以下の通りです。

(4, 7, 7)　（同じ数字はだめ）

(5, 6, 7)

よって、条件を満たす組み合わせは、(1, 2, 6), (1, 3, 5), (2, 3, 4), (5, 6, 7)の4通りです。

それぞれの組み合わせから3桁の整数を何通り作れるかを考えます。3つの数字の並べ方は3! = 3 × 2 × 1 = 6通りなので、

9の倍数の個数は、4 × 6 = 24個です。

次に、9の倍数の総和を求めます。

(1, 2, 6)の組み合わせから作られる整数の和を考えます。百の位、十の位、一の位それぞれに1, 2, 6が2回ずつ現れるので、

(100 + 200 + 600) × 2 + (10 + 20 + 60) × 2 + (1 + 2 + 6) × 2 = 900 × 2 + 90 × 2 + 9 × 2 = 1800 + 180 + 18 = 1998

同様に、他の組み合わせについても計算します。

(1, 3, 5) -> (100 + 300 + 500) × 2 + (10 + 30 + 50) × 2 + (1 + 3 + 5) × 2 = 900 × 2 + 90 × 2 + 9 × 2 = 1998

(2, 3, 4) -> (200 + 300 + 400) × 2 + (20 + 30 + 40) × 2 + (2 + 3 + 4) × 2 = 900 × 2 + 90 × 2 + 9 × 2 = 1998

(5, 6, 7) -> (500 + 600 + 700) × 2 + (50 + 60 + 70) × 2 + (5 + 6 + 7) × 2 = 1800 × 2 + 180 × 2 + 18 × 2 = 3600 + 360 + 36 = 3996

総和 = 1998 + 1998 + 1998 + 3996 = 9990

3. 最終的な答え

9の倍数は24通り作ることができ、それらの和は9990である。

ハヒ = 24

フヘホマ = 9990