与えられた画像には、複数の数学の問題が含まれています。ここでは、5番の問題の(1), (2), (3)を解きます。 (1) 男子3人、女子3人の計6人が1列に並ぶとき、男子3人が隣り合う並び方は何通りあるか。 (2) 5個の数字0, 1, 2, 3, 4を用いて作った各位の数字がすべて異なる5桁の整数について、小さい方から55番目の数は何か。 (3) 右の図のような街路がある。PからRまたはSを通ってQに行く最短経路は何通りあるか。

1. 問題の内容

与えられた画像には、複数の数学の問題が含まれています。ここでは、5番の問題の(1), (2), (3)を解きます。

(1) 男子3人、女子3人の計6人が1列に並ぶとき、男子3人が隣り合う並び方は何通りあるか。

(2) 5個の数字0, 1, 2, 3, 4を用いて作った各位の数字がすべて異なる5桁の整数について、小さい方から55番目の数は何か。

(3) 右の図のような街路がある。PからRまたはSを通ってQに行く最短経路は何通りあるか。

2. 解き方の手順

(1) 男子3人をひとまとめにして1つのグループと考えます。すると、女子3人と男子グループの合計4つのものを並べる順列は $4!$ 通りです。

次に、男子グループの中で3人が並ぶ順列は $3!$ 通りです。

したがって、求める並び方は $4! \times 3!$ 通りです。

(2) 5桁の整数を作る際、先頭に0を置くことはできません。

5桁の整数は全部で $4 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 96$ 個作れます。小さい順に並べて55番目の数を探します。

小さい順に並べることを考えると、先頭の数字が1, 2, 3のとき、残りの4つの数字の並び方はそれぞれ $4! = 24$ 通りです。

先頭が1である5桁の数は24個、先頭が2である5桁の数は24個、先頭が3である5桁の数は24個あるので、ここまでで$24 \times 3 = 72$個となります。つまり55番目の数は先頭が2である数の中に含まれます。

先頭が1である数：10234, ..., 14320 (24個)

先頭が2である数：20134, ..., 24310 (24個)

先頭が3である数：30124, ..., 34210 (24個)

小さい方から55番目は、先頭が2の整数の中で、$55-24=31$番目にあたります。先頭が2のとき、二番目の数字が0の場合は$3!=6$通り、1の場合も$3!=6$通り、3の場合も$3!=6$通り、4の場合も$3!=6$通りです。よって、先頭が2で、次の桁が0から始まるものが6個、1から始まるものが6個、3から始まるものが6個、4から始まるものが6個です。

先頭が20の場合、続く3桁は1,3,4の順列になり、6個あります。

先頭が21の場合、続く3桁は0,3,4の順列になり、6個あります。

先頭が23の場合、続く3桁は0,1,4の順列になり、6個あります。

先頭が24の場合、続く3桁は0,1,3の順列になり、6個あります。

したがって、先頭が2の場合、$6 \times 4=24$個あります。よって小さい方から$4\times6=24$番目までは24130, 24310までです。

$24 < 31$より小さい方から55番目の数は2の次に3が来る数なので3を固定すると、$31-6=25$。なので次は1が来る場合も6パターンです。$25-6=19$でまだ55に届きません。

なので次は4が来る数にしましょう$6 \times 3 = 18$小さい順に55番目は先頭が24の数に6個あります。$31-18 = 13$なので先頭は23です。

先頭が23の場合、続く3桁は0,1,4の順列です。この順列は$3!=6$通りです。小さい順番に23014、23041、23104、23140、23401、23410となります。

$31-6-6-6-6 = 31 - 24 = 7 < 31$

$2\times24 =48、31-48 = 7<48$より小さい方から55番目の数は先頭が3で2番目の数字が0 1 2のどれかです。

24, 21, 23、20とすると55-48=7なので7番目の整数は3の次に1がきます。

23104から数える必要あります

20134から数えて7番目の数字を求めれば良いので、

$3! = 6$

30124

20134, 20143, 20314, 20341, 20413, 20431, 21034...7番目の数字は21034

(3) PからRまでの最短経路は $\frac{3!}{2!1!} = 3$ 通りです。RからQまでの最短経路は $\frac{5!}{4!1!} = 5$ 通りです。したがって、PからRを通ってQに行く最短経路は $3 \times 5 = 15$ 通りです。

PからSまでの最短経路は $\frac{4!}{3!1!} = 4$ 通りです。SからQまでの最短経路は $\frac{4!}{3!1!} = 4$ 通りです。したがって、PからSを通ってQに行く最短経路は $4 \times 4 = 16$ 通りです。

PからRまたはSを通ってQに行く最短経路は $15 + 16 = 31$ 通りです。

3. 最終的な答え

(1) 144通り

(2) 21034

(3) 31通り