0, 1, 2, 3, 4, 5 の6個の数字を使って、同じ数字を2度以上使わないとき、次の問いに答えよ。 (1) 6桁の整数は何個できるか。 (2) 6桁の整数で5の倍数は何個できるか。

1. 問題の内容

0, 1, 2, 3, 4, 5 の6個の数字を使って、同じ数字を2度以上使わないとき、次の問いに答えよ。

(1) 6桁の整数は何個できるか。

(2) 6桁の整数で5の倍数は何個できるか。

2. 解き方の手順

(1) 6桁の整数

6桁の整数を作るには、先頭の桁に0以外の数字を入れる必要がある。

* 先頭の桁には、1, 2, 3, 4, 5 の5つの数字のいずれかを入れることができる。

* 次の桁には、残りの5つの数字のいずれかを入れることができる。

* その次の桁には、残りの4つの数字のいずれかを入れることができる。

* その次の桁には、残りの3つの数字のいずれかを入れることができる。

* その次の桁には、残りの2つの数字のいずれかを入れることができる。

* 最後の桁には、残りの1つの数字を入れることができる。

したがって、6桁の整数を作る方法は、

$5 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 600$

通りである。

(2) 6桁の整数で5の倍数

6桁の整数が5の倍数となるには、一の位が0または5である必要がある。

* 一の位が0の場合

* 一の位が0の場合、残りの5桁には、1, 2, 3, 4, 5 の5つの数字を入れることができる。

* 先頭の桁には、5つの数字のいずれかを入れることができる。

* 次の桁には、残りの4つの数字のいずれかを入れることができる。

* その次の桁には、残りの3つの数字のいずれかを入れることができる。

* その次の桁には、残りの2つの数字のいずれかを入れることができる。

* 最後の桁には、残りの1つの数字を入れることができる。

したがって、一の位が0である6桁の整数を作る方法は、

$5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$ 通りである。

* 一の位が5の場合

* 一の位が5の場合、先頭の桁には0以外の数字を入れる必要がある。

* 先頭の桁には、1, 2, 3, 4 の4つの数字のいずれかを入れることができる。

* 次の桁には、0と残りの3つの数字の計4つの数字のいずれかを入れることができる。

* その次の桁には、残りの3つの数字のいずれかを入れることができる。

* その次の桁には、残りの2つの数字のいずれかを入れることができる。

* 最後の桁には、残りの1つの数字を入れることができる。

したがって、一の位が5である6桁の整数を作る方法は、

$4 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 96$ 通りである。

したがって、6桁の整数で5の倍数は、

$120 + 96 = 216$ 個である。

3. 最終的な答え

(1) 600個

(2) 216個