白玉4個、黒玉3個、赤玉1個の合計8個の玉を円形に並べる方法の数と、それらの玉に紐を通して輪を作る方法の数を求める問題です。

1. 問題の内容

白玉4個、黒玉3個、赤玉1個の合計8個の玉を円形に並べる方法の数と、それらの玉に紐を通して輪を作る方法の数を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 円形に並べる方法

まず、8個の玉を直線に並べる場合の数を考えます。これは同じものを含む順列の問題なので、

$\frac{8!}{4!3!1!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 8 \times 7 \times 5 = 280$通りです。

次に、円順列であることを考慮します。円順列では、回転して同じになるものは同じ並び方とみなします。円順列の場合の数は、直線上での並び方の数を並べるものの総数で割る必要があります。しかし、今回はすべての玉が同じではないため、単純に割ることはできません。そこで、円順列に並べた際に回転対称性を持つものが存在するかを考えます。

もし回転対称性があるならば、例えば90度回転して同じになるような場合を考える必要がありますが、今回は白玉が4個であることと赤玉が1個であることから、そのような回転対称性を持つ並び方は存在しません。

したがって、円順列に並べる場合の数は、直線上での並び方の数を8で割ることになります。しかし、280は8で割り切れないので、別の方法で考える必要があります。

まず、1つ玉を固定して考えます。例えば、赤玉を固定します。すると、残りの7個の玉（白玉4個、黒玉3個）を並べる順列の数を考えればよいことになります。これは、

$\frac{7!}{4!3!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 7 \times 5 = 35$通りです。

(2) 輪を作る方法

輪を作る場合は、円順列に加えて、裏返して同じになるものも同じ並び方とみなします。したがって、(1)で求めた円順列の場合の数を2で割ればよいと考えられます。しかし、35は奇数なので、2で割り切れません。

ここで、すべての並び方が裏返すと異なる並び方になるわけではないことに注意します。

もし裏返して同じになる並び方が存在しない場合は、(1)の答えを2で割ったものを切り上げたものが答えになりますが、今回の場合は裏返して同じ並びになるものが存在しないので、単純に2で割ることはできません。

円順列の場合の数35通りの中で、裏返して同じになるものは存在しません。なぜならば、赤玉が1つしかなく、円順列においてその位置が固定されているため、裏返すと赤玉の位置が変わってしまうからです。したがって、裏返すと必ず別の並び方になります。

よって、35通りの並び方のうち、裏返すと別の並び方になるものがすべてなので、輪を作る場合の数は$35/2$となり、これは整数ではないため、誤りです。正しくは、

(円順列の総数 + 裏返して同じになるものの数) / 2

で計算します。

ここでは、裏返して同じになる並びは0なので、

35/2 を切り上げた数が答えになります。

つまり、17.5を切り上げて18となります。

3. 最終的な答え

円形に並べる方法は35通り。

輪を作る方法は18通り。