袋の中に赤玉5個、白玉4個、青玉3個が入っている。この袋から3個の玉を同時に取り出すとき、以下の確率を求めよ。 (1) 3個とも赤玉である確率 (2) 赤玉1個と白玉2個が出る確率 (3) どの色の玉も出る確率

1. 問題の内容

袋の中に赤玉5個、白玉4個、青玉3個が入っている。この袋から3個の玉を同時に取り出すとき、以下の確率を求めよ。

(1) 3個とも赤玉である確率

(2) 赤玉1個と白玉2個が出る確率

(3) どの色の玉も出る確率

2. 解き方の手順

まず、3個の玉を取り出す全ての場合の数を計算する。

全体の玉の数は $5 + 4 + 3 = 12$ 個なので、12個から3個を選ぶ組み合わせは ${}_{12}C_3$ 通りである。

${}_{12}C_3 = \frac{12 \times 11 \times 10}{3 \times 2 \times 1} = 2 \times 11 \times 10 = 220$

(1) 3個とも赤玉である確率

赤玉は5個あるので、その中から3個を選ぶ組み合わせは ${}_5C_3$ 通りである。

${}_5C_3 = \frac{5 \times 4 \times 3}{3 \times 2 \times 1} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$

したがって、確率は $\frac{{}_5C_3}{{}_{12}C_3} = \frac{10}{220} = \frac{1}{22}$

(2) 赤玉1個と白玉2個が出る確率

赤玉1個は5個から1個選ぶので ${}_5C_1 = 5$ 通り。

白玉2個は4個から2個選ぶので ${}_4C_2 = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$ 通り。

したがって、確率は $\frac{{}_5C_1 \times {}_4C_2}{{}_{12}C_3} = \frac{5 \times 6}{220} = \frac{30}{220} = \frac{3}{22}$

(3) どの色の玉も出る確率

各色の玉が1個ずつ出る場合を考える。

赤玉1個は5個から1個選ぶので ${}_5C_1 = 5$ 通り。

白玉1個は4個から1個選ぶので ${}_4C_1 = 4$ 通り。

青玉1個は3個から1個選ぶので ${}_3C_1 = 3$ 通り。

したがって、確率は $\frac{{}_5C_1 \times {}_4C_1 \times {}_3C_1}{{}_{12}C_3} = \frac{5 \times 4 \times 3}{220} = \frac{60}{220} = \frac{6}{22} = \frac{3}{11}$

3. 最終的な答え

(1) 3個とも赤玉である確率は $\frac{1}{22}$

(2) 赤玉1個と白玉2個が出る確率は $\frac{3}{22}$

(3) どの色の玉も出る確率は $\frac{3}{11}$