8人を以下の条件で分ける方法の数を求めます。 (1) 8人をA, B, C, Dの4つの部屋に、2人ずつ分ける方法 (2) 8人を2人ずつの4つの組に分ける方法

1. 問題の内容

8人を以下の条件で分ける方法の数を求めます。

(1) 8人をA, B, C, Dの4つの部屋に、2人ずつ分ける方法

(2) 8人を2人ずつの4つの組に分ける方法

2. 解き方の手順

(1) まず、8人からAの部屋に入れる2人を選ぶ方法は $_8C_2$ 通りです。

次に、残りの6人からBの部屋に入れる2人を選ぶ方法は $_6C_2$ 通りです。

さらに、残りの4人からCの部屋に入れる2人を選ぶ方法は $_4C_2$ 通りです。

最後に、残りの2人からDの部屋に入れる2人を選ぶ方法は $_2C_2$ 通りです。

したがって、A, B, C, Dの4つの部屋に2人ずつ分ける方法は、

$_8C_2 \times _6C_2 \times _4C_2 \times _2C_2$ で計算できます。

$_8C_2 = \frac{8!}{2!(8-2)!} = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28$

$_6C_2 = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$

$_4C_2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$

$_2C_2 = \frac{2!}{2!(2-2)!} = \frac{2 \times 1}{2 \times 1} = 1$

$28 \times 15 \times 6 \times 1 = 2520$

(2) 8人を2人ずつの4つの組に分ける方法は、(1)と同様にまず8人から2人を選ぶ方法 $_8C_2$ 通り、残りの6人から2人を選ぶ方法 $_6C_2$ 通り、残りの4人から2人を選ぶ方法 $_4C_2$ 通り、残りの2人から2人を選ぶ方法 $_2C_2$ 通りですが、この場合は組に区別がないため、順番を考慮する必要はありません。4つの組の並び順は$4!$通りなので、(1)で求めた数を$4!$で割る必要があります。

$\frac{_8C_2 \times _6C_2 \times _4C_2 \times _2C_2}{4!} = \frac{2520}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{2520}{24} = 105$

3. 最終的な答え

(1) 2520通り

(2) 105通り