座標平面上において、軸が直線 $x=5$ であり、2点 $(8, 0)$, $(0, 32)$ を通る放物線の方程式を求めよ。

## 数学の問題の解答

1. 問題の内容

座標平面上において、軸が直線 $x=5$ であり、2点 $(8, 0)$, $(0, 32)$ を通る放物線の方程式を求めよ。

2. 解き方の手順

放物線の軸が $x = 5$ であることから、求める2次関数は次の形で表すことができます。

$y = a(x - 5)^2 + q$

ここで、$a$と$q$は定数です。

この放物線が2点 $(8, 0)$ と $(0, 32)$ を通るので、それぞれの点を代入して$a$と$q$に関する連立方程式を立てます。

点$(8, 0)$を代入すると、

$0 = a(8 - 5)^2 + q$

$0 = 9a + q$

$q = -9a$ ...(1)

点$(0, 32)$を代入すると、

$32 = a(0 - 5)^2 + q$

$32 = 25a + q$ ...(2)

(1)を(2)に代入すると、

$32 = 25a - 9a$

$32 = 16a$

$a = 2$

(1)に$a=2$を代入すると、

$q = -9(2) = -18$

したがって、$a = 2$と$q = -18$を元の式に代入すると、

$y = 2(x - 5)^2 - 18$

$y = 2(x^2 - 10x + 25) - 18$

$y = 2x^2 - 20x + 50 - 18$

$y = 2x^2 - 20x + 32$

3. 最終的な答え

$y = 2x^2 - 20x + 32$