(1) 次の連立不等式を解く問題です。 $\begin{cases} x^2 - 6x + 8 > 0 \\ x^2 + 2x - 15 \le 0 \end{cases}$ (2) 不等式 $x^2 - 7 < |x - 5|$ を解く問題です。 (3) 不等式 $7x - 16 < x^2 - 3x + 7 \le 8x - 11$ を満たすすべての整数の和を求める問題です。

1. 問題の内容

(1) 次の連立不等式を解く問題です。

$\begin{cases}

x^2 - 6x + 8 > 0 \\

x^2 + 2x - 15 \le 0

\end{cases}$

(2) 不等式 $x^2 - 7 < |x - 5|$ を解く問題です。

(3) 不等式 $7x - 16 < x^2 - 3x + 7 \le 8x - 11$ を満たすすべての整数の和を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$x^2 - 6x + 8 > 0$ を解きます。

$(x - 2)(x - 4) > 0$

よって、$x < 2$ または $x > 4$　… ①

次に、$x^2 + 2x - 15 \le 0$ を解きます。

$(x + 5)(x - 3) \le 0$

よって、$-5 \le x \le 3$　… ②

①と②の共通範囲を求めます。

$-5 \le x < 2$ または $4 < x \le 3$　← $4 < x \le 3$ は明らかに矛盾しているので、これはあり得ないです。

したがって、$-5 \le x < 2$ が解となります。

(2)

$x^2 - 7 < |x - 5|$ を解きます。

場合分けをします。

(i) $x \ge 5$ のとき、$|x - 5| = x - 5$ なので、

$x^2 - 7 < x - 5$

$x^2 - x - 2 < 0$

$(x - 2)(x + 1) < 0$

$-1 < x < 2$

これは、$x \ge 5$ を満たさないので不適です。

(ii) $x < 5$ のとき、$|x - 5| = -(x - 5) = -x + 5$ なので、

$x^2 - 7 < -x + 5$

$x^2 + x - 12 < 0$

$(x + 4)(x - 3) < 0$

$-4 < x < 3$

これは、$x < 5$ を満たすので、$-4 < x < 3$ が解となります。

したがって、$-4 < x < 3$ が解となります。

(3)

$7x - 16 < x^2 - 3x + 7 \le 8x - 11$ を解きます。

まず、$7x - 16 < x^2 - 3x + 7$ を解きます。

$0 < x^2 - 10x + 23$

$x^2 - 10x + 23 > 0$

解の公式より、

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4(23)}}{2} = \frac{10 \pm \sqrt{8}}{2} = 5 \pm \sqrt{2}$

よって、$x < 5 - \sqrt{2}$ または $x > 5 + \sqrt{2}$　… ③

次に、$x^2 - 3x + 7 \le 8x - 11$ を解きます。

$x^2 - 11x + 18 \le 0$

$(x - 2)(x - 9) \le 0$

$2 \le x \le 9$　… ④

③と④の共通範囲を求めます。

$2 \le x < 5 - \sqrt{2}$ または $5 + \sqrt{2} < x \le 9$

$\sqrt{2} \approx 1.414$ なので、$5 - \sqrt{2} \approx 3.586$、$5 + \sqrt{2} \approx 6.414$

$2 \le x < 3.586$ または $6.414 < x \le 9$

これを満たす整数は、

$x = 2, 3, 7, 8, 9$

これらの和は、

$2 + 3 + 7 + 8 + 9 = 29$

3. 最終的な答え

(1) $-5 \le x < 2$

(2) $-4 < x < 3$

(3) 29