2次関数 $y = 4x^2 + (m-3)x + 2m - 6$ のグラフが $x$ 軸と接するように、$m$ の値を求めよ。また、このときの接点の $x$ 座標を求めよ。

1. 問題の内容

2次関数 $y = 4x^2 + (m-3)x + 2m - 6$ のグラフが $x$ 軸と接するように、$m$ の値を求めよ。また、このときの接点の $x$ 座標を求めよ。

2. 解き方の手順

2次関数 $y = 4x^2 + (m-3)x + 2m - 6$ のグラフが $x$ 軸と接するためには、2次方程式 $4x^2 + (m-3)x + 2m - 6 = 0$ が重解を持つ必要がある。

したがって、判別式 $D$ が $D=0$ でなければならない。

判別式 $D$ は、

$D = (m-3)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (2m-6) = 0$

$m^2 - 6m + 9 - 32m + 96 = 0$

$m^2 - 38m + 105 = 0$

$(m-3)(m-35) = 0$

したがって、$m=3$ または $m=35$。

(i) $m = 3$ のとき

$y = 4x^2 + (3-3)x + 2(3) - 6 = 4x^2$

$4x^2 = 0$

$x = 0$

接点の $x$ 座標は $0$。

(ii) $m = 35$ のとき

$y = 4x^2 + (35-3)x + 2(35) - 6 = 4x^2 + 32x + 64$

$4x^2 + 32x + 64 = 0$

$x^2 + 8x + 16 = 0$

$(x+4)^2 = 0$

$x = -4$

接点の $x$ 座標は $-4$。

3. 最終的な答え

$m = 3$ のとき、接点の $x$ 座標は $0$。

$m = 35$ のとき、接点の $x$ 座標は $-4$。