ある病気に対する薬の効果を調べる問題です。 (1) 標本平均 $\overline{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i$ の期待値と分散を求めます。ここで、$X_i$ は i 番目の患者に薬の効果が認められれば 1、認められなければ 0 をとる確率変数で、薬の効果がある確率は $p$ です。 (2) 400 人の患者に薬を投与したところ 320 人に効果がありました。母比率 $p$ の信頼度 95% の信頼区間を小数第 3 位を四捨五入して求めます。

1. 問題の内容

ある病気に対する薬の効果を調べる問題です。

(1) 標本平均 $\overline{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i$ の期待値と分散を求めます。ここで、$X_i$ は i 番目の患者に薬の効果が認められれば 1、認められなければ 0 をとる確率変数で、薬の効果がある確率は $p$ です。

(2) 400 人の患者に薬を投与したところ 320 人に効果がありました。母比率 $p$ の信頼度 95% の信頼区間を小数第 3 位を四捨五入して求めます。

2. 解き方の手順

(1) 期待値と分散の計算

まず、$X_i$ はベルヌーイ分布に従います。$X_i$ の期待値 $E[X_i]$ と分散 $V[X_i]$ はそれぞれ以下のようになります。

$E[X_i] = p$

$V[X_i] = p(1-p)$

標本平均 $\overline{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i$ の期待値は、期待値の線形性より

$E[\overline{X}] = E[\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i] = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} E[X_i] = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} p = \frac{1}{n} np = p$

標本平均 $\overline{X}$ の分散は、$X_i$ が独立であることから

$V[\overline{X}] = V[\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i] = \frac{1}{n^2} \sum_{i=1}^{n} V[X_i] = \frac{1}{n^2} \sum_{i=1}^{n} p(1-p) = \frac{1}{n^2} np(1-p) = \frac{p(1-p)}{n}$

(2) 信頼区間の計算

標本比率 $\hat{p}$ は $\hat{p} = \frac{320}{400} = 0.8$ となります。

標本の大きさが十分に大きいので、母比率 $p$ の信頼度 95% の信頼区間は以下の式で近似できます。

$\hat{p} \pm z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$

ここで、$z_{\alpha/2}$ は標準正規分布の $\alpha/2$ パーセント点です。信頼度 95% なので $\alpha = 0.05$ となり、$z_{0.025} = 1.96$ となります。

したがって、信頼区間は

$0.8 \pm 1.96 \sqrt{\frac{0.8(1-0.8)}{400}} = 0.8 \pm 1.96 \sqrt{\frac{0.16}{400}} = 0.8 \pm 1.96 \sqrt{0.0004} = 0.8 \pm 1.96 \times 0.02 = 0.8 \pm 0.0392$

信頼区間は $(0.8 - 0.0392, 0.8 + 0.0392) = (0.7608, 0.8392)$ となります。小数第 3 位を四捨五入すると $(0.761, 0.839)$ となります。

3. 最終的な答え

(1) 期待値: $p$, 分散: $\frac{p(1-p)}{n}$

(2) 信頼区間: $(0.761, 0.839)$