サイコロを$n$回投げて、$xy$平面上の点$P_0, P_1, ..., P_n$を以下の規則で定める。 (a) $P_0 = (0, 0)$ (b) $1 \le k \le n$のとき、$k$回目に出た目の数が1, 2, 3, 4のときには、$P_{k-1}$をそれぞれ東、北、西、南に$(\frac{1}{2})^k$だけ動かした点を$P_k$とする。また、$k$回目に出た目の数が5, 6のときには$P_k = P_{k-1}$とする。ただし、$y$軸の正の向きを北と定める。 (1) $P_n$が$x$軸上にあれば、$P_0, P_1, ..., P_{n-1}$もすべて$x$軸上にあることを示せ。 (2) $P_n$が第一象限$\{(x, y) | x > 0, y > 0\}$にある確率を$n$で表せ。

1. 問題の内容

サイコロを$n$回投げて、$xy$平面上の点$P_0, P_1, ..., P_n$を以下の規則で定める。

(a) $P_0 = (0, 0)$

(b) $1 \le k \le n$のとき、$k$回目に出た目の数が1, 2, 3, 4のときには、$P_{k-1}$をそれぞれ東、北、西、南に$(\frac{1}{2})^k$だけ動かした点を$P_k$とする。また、$k$回目に出た目の数が5, 6のときには$P_k = P_{k-1}$とする。ただし、$y$軸の正の向きを北と定める。

(1) $P_n$が$x$軸上にあれば、$P_0, P_1, ..., P_{n-1}$もすべて$x$軸上にあることを示せ。

(2) $P_n$が第一象限$\{(x, y) | x > 0, y > 0\}$にある確率を$n$で表せ。

2. 解き方の手順

(1)

$P_n$の$y$座標を$y_n$とすると、

$y_n = \sum_{k=1}^{n} (\frac{1}{2})^k I_k$

ここで、$I_k$は$k$回目に出た目が2のとき1, 4のとき-1、それ以外のとき0となる確率変数。

$P_n$が$x$軸上にあるとき、$y_n = 0$となる。すなわち、

$\sum_{k=1}^{n} (\frac{1}{2})^k I_k = 0$

ここで、$P_{n-1}$の$y$座標を$y_{n-1}$とすると、

$y_{n-1} = \sum_{k=1}^{n-1} (\frac{1}{2})^k I_k$

$y_n = y_{n-1} + (\frac{1}{2})^n I_n = 0$

$(\frac{1}{2})^n \neq 0$なので、$I_n = 0$ならば、$y_{n-1}=0$となる。もし、$I_n \neq 0$ならば、$y_{n-1} = - (\frac{1}{2})^n I_n \neq 0$となる。しかし、$y_n = 0$を満たすためには、$y_{n-1}$の値によっては$I_n$の値が制約されるので、$I_n = 0$となる場合、つまり$P_n$が$x$軸上にあるならば、$P_{n-1}$も$x$軸上にあることになる。

同様に、$P_{n-2}, P_{n-3}, ..., P_0$もすべて$x$軸上にある。

(2)

$P_n$の$x$座標を$x_n$、$y$座標を$y_n$とする。

$x_n = \sum_{k=1}^{n} (\frac{1}{2})^k J_k$

$y_n = \sum_{k=1}^{n} (\frac{1}{2})^k I_k$

ここで、$J_k$は$k$回目に出た目が1のとき1, 3のとき-1、それ以外のとき0となる確率変数。

$I_k$は$k$回目に出た目が2のとき1, 4のとき-1、それ以外のとき0となる確率変数。

$P_n$が第一象限にあるためには、$x_n > 0$かつ$y_n > 0$が必要となる。

$k$回目に出た目が1, 2, 3, 4のいずれかである確率は$\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

$k$回目に出た目が5, 6のいずれかである確率は$\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

$P(x_n > 0 \text{かつ} y_n > 0)$を求める。

$n=1$のとき、$x_1 = \frac{1}{2}$となる確率は$\frac{1}{6}$、$y_1 = \frac{1}{2}$となる確率は$\frac{1}{6}$。

$x_1 > 0$かつ$y_1 > 0$となる確率は0。

$P(x_1 > 0, y_1 > 0) = \frac{1}{6} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{36}$ではない。これは、$x_1$と$y_1$が同時に0でない値を取り得ないため。

$n=2$のとき、

$x_2 = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$

$x_2 = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$

$x_2 = - \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = - \frac{1}{4}$

$y_2 = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$

$y_2 = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$

$y_2 = - \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = - \frac{1}{4}$

...

これを一般化するのは難しい。

$i$回目に東、$j$回目に北、$k$回目に西、$l$回目に南が出たとする。ここで、$i+j+k+l \leq n$。

$x_n = \sum_{s=1}^i (\frac{1}{2})^{a_s} - \sum_{s=1}^k (\frac{1}{2})^{c_s}$

$y_n = \sum_{s=1}^j (\frac{1}{2})^{b_s} - \sum_{s=1}^l (\frac{1}{2})^{d_s}$

ここで、$a_s, b_s, c_s, d_s$はそれぞれ東、北、西、南が出た回数を表す。

$P_n$が第一象限にある確率は、複雑すぎて一般的に表現するのは難しい。

3. 最終的な答え

(1) $P_n$が$x$軸上にあれば、$P_0, P_1, ..., P_{n-1}$もすべて$x$軸上にある。

(2) 解答不能