2直線 $ax+by+c=0$ と $a'x+b'y+c'=0$ について、$b \neq 0$ かつ $b' \neq 0$ のとき、以下の2つの条件を証明する。 (1) 2直線が平行または一致する条件は $ab' = a'b$ (2) 2直線が垂直である条件は $aa' + bb' = 0$

1. 問題の内容

2直線 $ax+by+c=0$ と $a'x+b'y+c'=0$ について、$b \neq 0$ かつ $b' \neq 0$ のとき、以下の2つの条件を証明する。

(1) 2直線が平行または一致する条件は $ab' = a'b$

(2) 2直線が垂直である条件は $aa' + bb' = 0$

2. 解き方の手順

(1) 2直線が平行または一致する条件の証明

まず、与えられた2つの直線の方程式を $y$ について解き、傾きの形に変形する。

$ax + by + c = 0$ より、

$by = -ax - c$

$y = -\frac{a}{b}x - \frac{c}{b}$

同様に、$a'x + b'y + c' = 0$ より、

$b'y = -a'x - c'$

$y = -\frac{a'}{b'}x - \frac{c'}{b'}$

2直線が平行または一致する条件は、2直線の傾きが等しいことである。つまり、

$-\frac{a}{b} = -\frac{a'}{b'}$

両辺に $-1$ を掛けると、

$\frac{a}{b} = \frac{a'}{b'}$

両辺に $bb'$ を掛けると、

$ab' = a'b$

よって、2直線が平行または一致する条件は $ab' = a'b$ であることが証明された。

(2) 2直線が垂直である条件の証明

2直線が垂直である条件は、2直線の傾きの積が $-1$ であることである。つまり、

$(-\frac{a}{b})(-\frac{a'}{b'}) = -1$

$\frac{aa'}{bb'} = -1$

両辺に $bb'$ を掛けると、

$aa' = -bb'$

$aa' + bb' = 0$

よって、2直線が垂直である条件は $aa' + bb' = 0$ であることが証明された。

3. 最終的な答え

(1) 2直線が平行または一致する条件: $ab' = a'b$

(2) 2直線が垂直である条件: $aa' + bb' = 0$