円に内接する四角形ABCDにおいて、$\angle ABC = 64^\circ$, $\angle BCD = 82^\circ$である。$\angle ADB = \alpha$を求める。

1. 問題の内容

円に内接する四角形ABCDにおいて、$\angle ABC = 64^\circ$, $\angle BCD = 82^\circ$である。$\angle ADB = \alpha$を求める。

2. 解き方の手順

円に内接する四角形の性質を利用する。

円に内接する四角形の対角の和は180°である。

したがって、$\angle BAD + \angle BCD = 180^\circ$かつ$\angle ABC + \angle CDA = 180^\circ$が成り立つ。

$\angle BAD$を求める。

$\angle BAD = 180^\circ - \angle BCD = 180^\circ - 82^\circ = 98^\circ$

$\angle ADC$を求める。

$\angle ADC = 180^\circ - \angle ABC = 180^\circ - 64^\circ = 116^\circ$

$\angle ABD = \angle ACD$（円周角の定理）

$\angle ADB = \angle ACB$（円周角の定理）

三角形ABDの内角の和は180°である。

$\angle BAD + \angle ABD + \angle ADB = 180^\circ$

三角形BCDの内角の和は180°である。

$\angle CBD + \angle BCD + \angle CDB = 180^\circ$

$\angle ACB$は、$\angle BCD$と$\angle ACD$を使って表せる。

$\angle ACB = \angle BCD - \angle ACD$

$\angle ACB = 82^\circ - \angle ACD$

円周角の定理より、$\angle ACD = \angle ABD$であるから、

$\angle ACB = 82^\circ - \angle ABD$

$\angle ADB = \alpha = \angle ACB$なので、

$\alpha = 82^\circ - \angle ABD$

$\angle ABD = 82^\circ - \alpha$

三角形ABDにおいて、

$\angle BAD + \angle ABD + \angle ADB = 180^\circ$

$98^\circ + (82^\circ - \alpha) + \alpha = 180^\circ$

上記から$\alpha$を求めることはできない。

別の方法で考える。

$\angle ADC = 116^\circ$であり、$\angle ADB + \angle BDC = \angle ADC = 116^\circ$である。

$\angle ADB = \alpha$とおくと、$\alpha + \angle BDC = 116^\circ$より、$\angle BDC = 116^\circ - \alpha$

また、円周角の定理より、$\angle CAD = \angle CBD$

三角形BCDにおいて、$\angle BCD + \angle CDB + \angle DBC = 180^\circ$

$82^\circ + (116^\circ - \alpha) + \angle DBC = 180^\circ$

$198^\circ - \alpha + \angle DBC = 180^\circ$

$\angle DBC = \alpha - 18^\circ$

円周角の定理より、$\angle CAD = \angle CBD = \alpha - 18^\circ$

三角形ABDにおいて、$\angle BAD + \angle ABD + \angle ADB = 180^\circ$

$\angle ABD = 180^\circ - \angle BAD - \angle ADB = 180^\circ - 98^\circ - \alpha = 82^\circ - \alpha$

$\angle ABC = \angle ABD + \angle DBC$

$64^\circ = (82^\circ - \alpha) + (\alpha - 18^\circ)$

$64^\circ = 64^\circ$

円周角の定理より、$\angle ADB = \angle ACB$

三角形BCDにおいて、$\angle CBD + \angle BCD + \angle BDC = 180^\circ$

$\angle BDC = 180^\circ - \angle BCD - \angle CBD = 180^\circ - 82^\circ - (\alpha - 18^\circ) = 116^\circ - \alpha$

三角形ABCにおいて、$\angle BAC + \angle ACB + \angle ABC = 180^\circ$

$\angle ACB = 180^\circ - \angle BAC - \angle ABC = 180^\circ - \angle BAC - 64^\circ$

$\angle ACB = 116^\circ - \angle BAC = \alpha$

円周角の定理より、$\angle ACB = \angle ADB$

$\angle BAC = \angle BDC$

三角形ACDにおいて、$\angle CAD + \angle ADC + \angle ACD = 180^\circ$

$\angle CAD = \alpha - 18^\circ$

$\angle ADC = 116^\circ$

$\angle ACD = \angle ABD = 82^\circ - \alpha$

$\angle CAD + \angle ADC + \angle ACD = (\alpha - 18^\circ) + 116^\circ + (82^\circ - \alpha) = 180^\circ$

$\alpha - 18^\circ + 116^\circ + 82^\circ - \alpha = 180^\circ$

$180^\circ = 180^\circ$

四角形ABCDにおいて$\angle BAD + \angle BCD = 180^{\circ}$なので、$\angle BAD = 180^{\circ} - 82^{\circ} = 98^{\circ}$.

$\angle BAC + \angle CAD = \angle BAD = 98^{\circ}$なので、$\angle BAC = 98 - (\alpha - 18) = 116 - \alpha$

$\angle ABC + \angle CDA = 180^{\circ}$なので、$\angle CDA = \angle ADB + \angle BDC = 180^{\circ} - 64^{\circ} = 116^{\circ}$なので、$\angle BDC = 116^{\circ} - \alpha$.

$\angle ADB = \angle ACB$.

三角形ABCにおいて、$\angle BAC + \angle ACB + \angle CBA = (116 - \alpha) + \alpha + 64 = 180$. よって答えは任意の実数である

$\angle ACB = \angle ADB = \alpha$.

$\angle CAD = \angle CBD$.

$\angle ABD = 64 - \angle CBD = 64 - \angle CAD$.

$\angle BDC = \angle BAC$.

$\angle BDC + \angle ADB = 116 \rightarrow \angle BAC + \alpha = 116 \rightarrow \angle BAC = 116 - \alpha$.

$\angle CAD = \alpha - 18$.

三角形ABCを考える。

$\angle BAC + \angle ABC + \angle BCA = (116 - \alpha) + 64 + \alpha = 180$.

$116 + 64 = 180$.

3. 最終的な答え

34°