円の外にある点から円に引いた2つの割線について、割線の長さの一部が与えられており、残りの長さ $x$ を求める問題です。具体的には、円の中心をOとする円があり、円外の点から円に引いた割線の円との交点までの距離がそれぞれ2と4、円の中心Oを通る割線の円の中心から円との交点までの距離が3と $x$ で与えられています。

1. 問題の内容

円の外にある点から円に引いた2つの割線について、割線の長さの一部が与えられており、残りの長さ $x$ を求める問題です。具体的には、円の中心をOとする円があり、円外の点から円に引いた割線の円との交点までの距離がそれぞれ2と4、円の中心Oを通る割線の円の中心から円との交点までの距離が3と $x$ で与えられています。

2. 解き方の手順

円外の点から円に引いた2つの割線について、割線の性質を利用します。

円外の一点から引いた割線について、$PA \times PB = PC \times PD$ が成り立ちます。ここで、Pは円外の点、AとBは一方の割線と円の交点、CとDはもう一方の割線と円の交点です。

図において、円外の点をPとすると、与えられた情報から以下の関係が成り立ちます。

$PA = 2$

$PB = 2 + 4 = 6$

$PC = x$

$PD = x + 3 + 3 = x + 6$

したがって、

$2 \times 6 = x \times (x + 6)$

上記の式を解きます。

$12 = x^2 + 6x$

$x^2 + 6x - 12 = 0$

解の公式を用いて $x$ を求めます。

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

$x = \frac{-6 \pm \sqrt{6^2 - 4 \times 1 \times (-12)}}{2 \times 1}$

$x = \frac{-6 \pm \sqrt{36 + 48}}{2}$

$x = \frac{-6 \pm \sqrt{84}}{2}$

$x = \frac{-6 \pm 2\sqrt{21}}{2}$

$x = -3 \pm \sqrt{21}$

$x$ は長さなので正の値をとる必要があります。

したがって、$x = -3 + \sqrt{21}$

3. 最終的な答え

$x = -3 + \sqrt{21}$