直線 $l: y = x + 1$ と、$l$ 上の $y$ 座標が 3 である点を通り、切片が 4 である直線 $m$ がある。 (1) 直線 $m$ の式を求めなさい。 (2) 2直線 $l$ と $m$ と $y$ 軸で囲まれた三角形の面積を求めなさい。

1. 問題の内容

直線 $l: y = x + 1$ と、$l$ 上の $y$ 座標が 3 である点を通り、切片が 4 である直線 $m$ がある。

(1) 直線 $m$ の式を求めなさい。

(2) 2直線 $l$ と $m$ と $y$ 軸で囲まれた三角形の面積を求めなさい。

2. 解き方の手順

(1) まず、直線 $l$ 上の $y$ 座標が 3 である点の $x$ 座標を求める。

$l$ の式 $y = x + 1$ に $y = 3$ を代入すると、

$3 = x + 1$

$x = 2$

したがって、求める点は $(2, 3)$ である。

直線 $m$ は点 $(2, 3)$ を通り、切片が 4 であるから、式を $y = ax + 4$ とおくことができる。

点 $(2, 3)$ を代入すると、

$3 = 2a + 4$

$2a = -1$

$a = -\frac{1}{2}$

よって、直線 $m$ の式は $y = -\frac{1}{2}x + 4$ である。

(2) 2直線 $l$ と $m$ と $y$ 軸で囲まれた三角形の面積を求める。

直線 $l$ と $m$ の交点の $y$ 座標は、

$x + 1 = -\frac{1}{2}x + 4$

$2x + 2 = -x + 8$

$3x = 6$

$x = 2$

$y = 2 + 1 = 3$

交点は $(2, 3)$ である。

直線 $l$ の $y$ 切片は 1、直線 $m$ の $y$ 切片は 4 である。

したがって、三角形の底辺の長さは $4 - 1 = 3$ である。

三角形の高さは交点の $x$ 座標であるから 2 である。

よって、三角形の面積は $\frac{1}{2} \times 3 \times 2 = 3$ である。

3. 最終的な答え

(1) $y = -\frac{1}{2}x + 4$

(2) 3