直線 $l: y = 2x$ 上にあり、$x$ 座標が 2 である点 A がある。点 A を通り、傾きが -1 である直線 $m$ がある。以下の問いに答える。 (1) 直線 $m$ の式を求める。 (2) 2 つの直線 $l$ と $m$、および $y$ 軸で囲まれた三角形の面積を求める。

1. 問題の内容

直線 $l: y = 2x$ 上にあり、$x$ 座標が 2 である点 A がある。点 A を通り、傾きが -1 である直線 $m$ がある。以下の問いに答える。

(1) 直線 $m$ の式を求める。

(2) 2 つの直線 $l$ と $m$、および $y$ 軸で囲まれた三角形の面積を求める。

2. 解き方の手順

(1) まず、点 A の座標を求める。点 A は直線 $l: y = 2x$ 上にあり、$x$ 座標が 2 なので、$y = 2 \times 2 = 4$。したがって、点 A の座標は (2, 4) である。

次に、直線 $m$ の式を $y = -x + b$ とおく。直線 $m$ は点 A (2, 4) を通るので、

$4 = -2 + b$

$b = 6$

したがって、直線 $m$ の式は $y = -x + 6$ である。

(2) 直線 $l$ と直線 $m$ の交点が点 A である。直線 $l$ と $y$ 軸との交点は原点 (0, 0) である。直線 $m$ と $y$ 軸との交点は、$y = -x + 6$ に $x = 0$ を代入して、$y = 6$。したがって、直線 $m$ と $y$ 軸との交点は (0, 6) である。

三角形の頂点は (0, 0), (0, 6), (2, 4) である。この三角形の面積は、底辺を $y$ 軸上の線分と考えると、底辺の長さは 6 であり、高さは点 A の $x$ 座標である 2 である。

したがって、三角形の面積は

$\frac{1}{2} \times 6 \times 2 = 6$

3. 最終的な答え

(1) 直線 $m$ の式は $y = -x + 6$

(2) 面積は 6