$xy$平面上に点A(0, -1), B(-2, 5)がある。(1) 2点A, Bを通り、直線 $y=x+1$ 上に中心を持つ円 $C_1$ の方程式を求める。(2) 直線ABに関して、(1)で求めた円 $C_1$ と対称な円 $C_2$ の方程式を求める。(3) 2点P, Qをそれぞれ円 $C_1$, $C_2$ 上の点とするとき、線分 PQの長さの最大値を求める。

1. 問題の内容

$xy$平面上に点A(0, -1), B(-2, 5)がある。(1) 2点A, Bを通り、直線 $y=x+1$ 上に中心を持つ円 $C_1$ の方程式を求める。(2) 直線ABに関して、(1)で求めた円 $C_1$ と対称な円 $C_2$ の方程式を求める。(3) 2点P, Qをそれぞれ円 $C_1$, $C_2$ 上の点とするとき、線分 PQの長さの最大値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 円 $C_1$ の中心を $(a, a+1)$ とおく。点A(0, -1), B(-2, 5) を通るので、

$(0-a)^2 + (-1 - (a+1))^2 = (-2-a)^2 + (5 - (a+1))^2$

$a^2 + (a+2)^2 = (a+2)^2 + (4-a)^2$

$a^2 = (4-a)^2$

$a^2 = 16 - 8a + a^2$

$8a = 16$

$a = 2$

よって、円 $C_1$ の中心は (2, 3) となる。半径 $r$ は $r^2 = (0-2)^2 + (-1-3)^2 = 4 + 16 = 20$.

したがって、円 $C_1$ の方程式は $(x-2)^2 + (y-3)^2 = 20$.

(2) 直線ABの方程式を求める。傾きは $\frac{5 - (-1)}{-2 - 0} = \frac{6}{-2} = -3$.

よって、直線ABの方程式は $y = -3x - 1$.

円 $C_1$ の中心(2, 3) と直線AB: $3x + y + 1 = 0$ に関して対称な点を $(p, q)$ とする。

線分の中点が直線AB上にあるので、 $3(\frac{2+p}{2}) + \frac{3+q}{2} + 1 = 0$.

$3(2+p) + 3+q + 2 = 0$

$6+3p+3+q+2 = 0$

$3p+q = -11$

また、2点を通る直線と直線ABが垂直なので、$\frac{q-3}{p-2} = \frac{1}{3}$.

$3(q-3) = p-2$

$3q - 9 = p - 2$

$p = 3q - 7$

これを $3p+q = -11$ に代入して、$3(3q-7) + q = -11$

$9q - 21 + q = -11$

$10q = 10$

$q = 1$

$p = 3(1) - 7 = -4$

よって、円 $C_2$ の中心は (-4, 1) となる。半径は円 $C_1$ と同じで $\sqrt{20}$.

したがって、円 $C_2$ の方程式は $(x+4)^2 + (y-1)^2 = 20$.

(3) 線分PQの長さが最大になるのは、2つの円の中心を結ぶ線分上に点P, Qがあるときである。

円 $C_1$ の中心 (2, 3) と円 $C_2$ の中心 (-4, 1) の距離は $\sqrt{(2-(-4))^2 + (3-1)^2} = \sqrt{6^2 + 2^2} = \sqrt{36+4} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}$.

円 $C_1$ の半径は $\sqrt{20} = 2\sqrt{5}$. 円 $C_2$ の半径も $\sqrt{20} = 2\sqrt{5}$.

したがって、線分PQの長さの最大値は $2\sqrt{10} + 2\sqrt{5} + 2\sqrt{5} = 2\sqrt{10} + 4\sqrt{5} = 2(2\sqrt{5} + \sqrt{10})$.

3. 最終的な答え

(1) $(x-2)^2 + (y-3)^2 = 20$

(2) $(x+4)^2 + (y-1)^2 = 20$

(3) $2(2\sqrt{5} + \sqrt{10})$