$\triangle ABC$ において、$b=2$, $c=\sqrt{2}$, $C=30^\circ$のとき、$a$, $A$, $B$を求める問題です。

1. 問題の内容

$\triangle ABC$ において、$b=2$, $c=\sqrt{2}$, $C=30^\circ$のとき、$a$, $A$, $B$を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、正弦定理を用いて角 $B$ を求めます。

$\frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$

$\frac{2}{\sin B} = \frac{\sqrt{2}}{\sin 30^\circ}$

$\frac{2}{\sin B} = \frac{\sqrt{2}}{1/2}$

$\frac{2}{\sin B} = 2\sqrt{2}$

$\sin B = \frac{2}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

よって、$B = 45^\circ$または$135^\circ$です。

(i) $B = 45^\circ$の場合：

$A = 180^\circ - (B+C) = 180^\circ - (45^\circ + 30^\circ) = 180^\circ - 75^\circ = 105^\circ$

正弦定理より、

$\frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C}$

$a = \frac{c \sin A}{\sin C} = \frac{\sqrt{2} \sin 105^\circ}{\sin 30^\circ} = \frac{\sqrt{2} \sin (60^\circ + 45^\circ)}{1/2} = 2\sqrt{2} (\sin 60^\circ \cos 45^\circ + \cos 60^\circ \sin 45^\circ)$

$a = 2\sqrt{2} \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{2} \frac{1}{\sqrt{2}} \right) = 2\sqrt{2} \left( \frac{\sqrt{3} + 1}{2\sqrt{2}} \right) = \sqrt{3} + 1$

(ii) $B = 135^\circ$の場合：

$A = 180^\circ - (B+C) = 180^\circ - (135^\circ + 30^\circ) = 180^\circ - 165^\circ = 15^\circ$

正弦定理より、

$\frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C}$

$a = \frac{c \sin A}{\sin C} = \frac{\sqrt{2} \sin 15^\circ}{\sin 30^\circ} = \frac{\sqrt{2} \sin (45^\circ - 30^\circ)}{1/2} = 2\sqrt{2} (\sin 45^\circ \cos 30^\circ - \cos 45^\circ \sin 30^\circ)$

$a = 2\sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{\sqrt{2}} \frac{1}{2} \right) = 2\sqrt{2} \left( \frac{\sqrt{3} - 1}{2\sqrt{2}} \right) = \sqrt{3} - 1$

3. 最終的な答え

(i) $B = 45^\circ$ の場合：

$a = \sqrt{3} + 1$, $A = 105^\circ$, $B = 45^\circ$

(ii) $B = 135^\circ$ の場合：

$a = \sqrt{3} - 1$, $A = 15^\circ$, $B = 135^\circ$