放物線 $y = \frac{1}{2}x^2$ 上の点 A(2, 2) がある。原点 O、点 A、および点 A と y 軸について対称な点を頂点とする平行四辺形を作る。残りの1点が x 軸上にあるとき、以下の問いに答える。 (1) 直線 OA の式を求めなさい。 (2) 平行四辺形の面積を求めなさい。

1. 問題の内容

放物線 $y = \frac{1}{2}x^2$ 上の点 A(2, 2) がある。原点 O、点 A、および点 A と y 軸について対称な点を頂点とする平行四辺形を作る。残りの1点が x 軸上にあるとき、以下の問いに答える。

(1) 直線 OA の式を求めなさい。

(2) 平行四辺形の面積を求めなさい。

2. 解き方の手順

(1) 直線 OA の式を求める。

直線 OA は原点 O を通る直線なので、$y = ax$ と表せる。点 A(2, 2) を通るので、

$2 = a \cdot 2$

$a = 1$

よって、直線 OA の式は $y = x$ である。

(2) 平行四辺形の面積を求める。

点 A(2, 2) と y 軸について対称な点を B とすると、点 B の座標は (-2, 2) である。

また、残りの頂点を C とすると、C は x 軸上にあり、線分 BC は x 軸に平行である。

したがって、点 C の座標は (-2, 0) である。

平行四辺形 OABC の面積は、底辺 OC の長さを 2、高さを点 A の y 座標 2 とすると、

面積 = OC * 高さ = $2 * 2 = 4$ となる。

また、底辺を OA とすると、OA の長さは $\sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$

OA を底辺としたときの高さは、点 B から直線 OA に下ろした垂線の長さとなる。

直線 OA の式は $y = x$ なので、$x - y = 0$

点 B (-2, 2) から直線 $x - y = 0$ までの距離は、

$\frac{|(-2) - 2|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{|-4|}{\sqrt{2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}$

平行四辺形の面積は、$2\sqrt{2} * 2\sqrt{2} = 8$

Cはx軸上にあるので、Aをy軸に関して対称移動させた点をBとすると、点Bの座標は(-2,2)となる。

平行四辺形なので、残りの点をCとすると、Cはx軸上にあり、かつBCがx軸に平行なので、Cの座標は(-2,0)となる。

平行四辺形OABCの面積は、OCを底辺とすると、高さは点Aのy座標となるので、OCの長さは2、高さは2となり、面積は2*2=4となる。

OAを底辺とすると、OAの長さは$\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$

OAを底辺としたときの高さは、BからOAに下ろした垂線の長さとなる。

OAの式は$y=x$なので、$x-y=0$

B(-2,2)から直線$x-y=0$までの距離は、$\frac{|(-2)-2|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}=\frac{4}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}$

平行四辺形の面積は、$2\sqrt{2}*2\sqrt{2}=8$

点Bからx軸に垂線を下ろし、その交点をDとすると、平行四辺形の面積は長方形ADEOの面積を2倍したものとなる。

長方形ADEOの面積は4なので、平行四辺形の面積は8となる。

しかしながらC(2,0)の可能性がある。

この場合、AB=4,高さは点OからABに下ろした垂線の長さとなる。

y=2で一定なので、高さは$\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$

平行四辺形の面積は$4*\sqrt{2}=4\sqrt{2}$

ABを底辺とすると、ABの長さは4。

点OからABに垂線を下ろすと、その長さは2なので、面積は4*2=8

3. 最終的な答え

(1) $y = x$

(2) 4