四面体OABCにおいて、$\angle AOB = 90^\circ$, $\angle AOC = 120^\circ$, $\angle BOC = 60^\circ$, $OA=2$, $OB=2$, $OC=1$ とする。三角形ABCの重心をGとし、線分OGを$t:1-t$ ($0<t<1$) の比に内分する点をPとする。 (1) $\vec{OA}=\vec{a}$, $\vec{OB}=\vec{b}$, $\vec{OC}=\vec{c}$ とおくとき、$\vec{CP}$ を $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ で表す。 (2) $\vec{OP} \perp \vec{CP}$ となるとき、$t$の値を求める。

1. 問題の内容

四面体OABCにおいて、$\angle AOB = 90^\circ$, $\angle AOC = 120^\circ$, $\angle BOC = 60^\circ$, $OA=2$, $OB=2$, $OC=1$ とする。三角形ABCの重心をGとし、線分OGを$t:1-t$ ($0<t<1$) の比に内分する点をPとする。

(1) $\vec{OA}=\vec{a}$, $\vec{OB}=\vec{b}$, $\vec{OC}=\vec{c}$ とおくとき、$\vec{CP}$ を $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ で表す。

(2) $\vec{OP} \perp \vec{CP}$ となるとき、$t$の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) まず、点Gは三角形ABCの重心なので、$\vec{OG} = \frac{\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC}}{3} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3}$ と表せる。

また、点Pは線分OGを$t:1-t$に内分する点なので、$\vec{OP} = t \vec{OG} = t (\frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3}) = \frac{t}{3} \vec{a} + \frac{t}{3} \vec{b} + \frac{t}{3} \vec{c}$ と表せる。

$\vec{CP} = \vec{OP} - \vec{OC} = \frac{t}{3} \vec{a} + \frac{t}{3} \vec{b} + \frac{t}{3} \vec{c} - \vec{c} = \frac{t}{3} \vec{a} + \frac{t}{3} \vec{b} + (\frac{t}{3} - 1) \vec{c}$

(2) $\vec{OP} \perp \vec{CP}$ なので、$\vec{OP} \cdot \vec{CP} = 0$ である。

$\vec{OP} \cdot \vec{CP} = (\frac{t}{3} \vec{a} + \frac{t}{3} \vec{b} + \frac{t}{3} \vec{c}) \cdot (\frac{t}{3} \vec{a} + \frac{t}{3} \vec{b} + (\frac{t}{3} - 1) \vec{c})$

$=\frac{t^2}{9} |\vec{a}|^2 + \frac{t^2}{9} |\vec{b}|^2 + \frac{t}{3}(\frac{t}{3} - 1) |\vec{c}|^2 + \frac{2t^2}{9} \vec{a} \cdot \vec{b} + \frac{t}{3}(\frac{t}{3} - 1) 2\vec{a} \cdot \vec{c} + \frac{t}{3}(\frac{t}{3} - 1) 2\vec{b} \cdot \vec{c} = 0$

ここで、 $|\vec{a}| = 2$, $|\vec{b}| = 2$, $|\vec{c}| = 1$, $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos 90^\circ = 0$, $\vec{a} \cdot \vec{c} = |\vec{a}| |\vec{c}| \cos 120^\circ = 2 \cdot 1 \cdot (-\frac{1}{2}) = -1$, $\vec{b} \cdot \vec{c} = |\vec{b}| |\vec{c}| \cos 60^\circ = 2 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} = 1$ を用いる。

$\frac{4t^2}{9} + \frac{4t^2}{9} + \frac{t}{3}(\frac{t}{3} - 1) + 0 + \frac{t}{3}(\frac{t}{3} - 1) \cdot (-2) + \frac{t}{3}(\frac{t}{3} - 1) \cdot 2 = 0$

$\frac{8t^2}{9} + \frac{t^2}{9} - \frac{t}{3} - \frac{2t^2}{9} + \frac{2t}{3} + \frac{2t^2}{9} - \frac{2t}{3} = 0$

$\frac{9t^2}{9} - \frac{t}{3} = 0$

$t^2 - \frac{t}{3} = 0$

$t(t - \frac{1}{3}) = 0$

$t = 0, \frac{1}{3}$

$0 < t < 1$ より、$t = \frac{1}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $\vec{CP} = \frac{t}{3} \vec{a} + \frac{t}{3} \vec{b} + (\frac{t}{3} - 1) \vec{c}$

(2) $t = \frac{1}{3}$