直線 $l: y = -\frac{1}{3}x + \frac{8}{3}$ があり、直線 $l$ 上の $x$ 座標が $-4$ である点 $P$ を通り、傾きが $-2$ である直線 $m$ がある。2 直線 $l, m$ と $x$ 軸との交点をそれぞれ $A, B$ とするとき、以下の問いに答える。 (1) 直線 $m$ の式を求めよ。 (2) 三角形 $ABP$ の面積を求めよ。

1. 問題の内容

直線 $l: y = -\frac{1}{3}x + \frac{8}{3}$ があり、直線 $l$ 上の $x$ 座標が $-4$ である点 $P$ を通り、傾きが $-2$ である直線 $m$ がある。2 直線 $l, m$ と $x$ 軸との交点をそれぞれ $A, B$ とするとき、以下の問いに答える。

(1) 直線 $m$ の式を求めよ。

(2) 三角形 $ABP$ の面積を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) まず、点 $P$ の座標を求める。点 $P$ は直線 $l$ 上にあり、$x$ 座標が $-4$ なので、$y$ 座標は

$y = -\frac{1}{3}(-4) + \frac{8}{3} = \frac{4}{3} + \frac{8}{3} = \frac{12}{3} = 4$

よって、$P(-4, 4)$ である。

直線 $m$ は点 $P(-4, 4)$ を通り、傾きが $-2$ なので、その式は

$y - 4 = -2(x - (-4))$

$y - 4 = -2(x + 4)$

$y - 4 = -2x - 8$

$y = -2x - 4$

(2) 点 $A$ は直線 $l$ と $x$ 軸の交点なので、$y = 0$ を代入して $x$ 座標を求める。

$0 = -\frac{1}{3}x + \frac{8}{3}$

$\frac{1}{3}x = \frac{8}{3}$

$x = 8$

よって、$A(8, 0)$ である。

点 $B$ は直線 $m$ と $x$ 軸の交点なので、$y = 0$ を代入して $x$ 座標を求める。

$0 = -2x - 4$

$2x = -4$

$x = -2$

よって、$B(-2, 0)$ である。

三角形 $ABP$ の底辺を $AB$ とすると、底辺の長さは

$AB = |8 - (-2)| = |8 + 2| = 10$

高さは点 $P$ の $y$ 座標なので、$4$ である。

したがって、三角形 $ABP$ の面積は

$\frac{1}{2} \times AB \times (Pのy座標) = \frac{1}{2} \times 10 \times 4 = 20$

3. 最終的な答え

(1) $y = -2x - 4$

(2) 20