直線 $l: y = \frac{1}{2}x + \frac{5}{2}$ があり、直線 $l$ 上の $x$ 座標が3である点Pを通る、傾きが2の直線 $m$ があります。2直線 $l$, $m$ と $x$ 軸との交点をそれぞれA, Bとするとき、以下の問いに答えます。 (1) 直線 $m$ の式を求めなさい。 (2) $\triangle ABP$ の面積を求めなさい (単位は不要)。

1. 問題の内容

直線 $l: y = \frac{1}{2}x + \frac{5}{2}$ があり、直線 $l$ 上の $x$ 座標が3である点Pを通る、傾きが2の直線 $m$ があります。2直線 $l$, $m$ と $x$ 軸との交点をそれぞれA, Bとするとき、以下の問いに答えます。

(1) 直線 $m$ の式を求めなさい。

(2) $\triangle ABP$ の面積を求めなさい (単位は不要)。

2. 解き方の手順

(1) 直線 $m$ の式を求める。

まず、点Pの座標を求める。点Pは直線 $l$ 上にあり、$x$ 座標が3なので、$y = \frac{1}{2}(3) + \frac{5}{2} = \frac{3}{2} + \frac{5}{2} = \frac{8}{2} = 4$。

したがって、点Pの座標は $(3, 4)$。

直線 $m$ は点P $(3, 4)$ を通り、傾きが2なので、$y = 2x + b$ とおける。

この式に点Pの座標を代入すると、$4 = 2(3) + b$ より $4 = 6 + b$, よって $b = -2$。

したがって、直線 $m$ の式は $y = 2x - 2$。

(2) $\triangle ABP$ の面積を求める。

点Aは直線 $l$ と $x$ 軸との交点なので、$y=0$ を $l$ の式に代入して、$0 = \frac{1}{2}x + \frac{5}{2}$ より $\frac{1}{2}x = -\frac{5}{2}$, よって $x = -5$。したがって、点Aの座標は $(-5, 0)$。

点Bは直線 $m$ と $x$ 軸との交点なので、$y=0$ を $m$ の式に代入して、$0 = 2x - 2$ より $2x = 2$, よって $x = 1$。したがって、点Bの座標は $(1, 0)$。

AとBの $x$ 座標から、線分ABの長さは $|-5 - 1| = |-6| = 6$。

$\triangle ABP$ の高さは点Pの $y$ 座標であり、これは4。

したがって、$\triangle ABP$ の面積は $\frac{1}{2} \times 6 \times 4 = 12$。

3. 最終的な答え

(1) $y = 2x - 2$

(2) 12